Die h-Methode - Vom Differenzenquotient zum Differentialquotient
RECAP:
In den letzten Stunden haben wir uns Veränderungen von Funktionen angeschaut und die Veränderungen der Funktionswerte in einem bestimmten Intervall mit dem Differenzenquotient berechnet.
Geometrisch haben wir dabei die Steigung der Sekante durch zwei Punkte und mithilfe eines Steigungsdreiecks berechnet.
Nun wollen wir das Intervall, d.h. den Abstand zwischen und verringern. Allgemein bezeichnen wir diesen Abstand zwischen und mit h. Wir bezeichnen nun und da der Abstand zwischen und gerade h ist, gilt . Außerdem gilt: und . Nun können wir die in die Formel des Differenzenquotient einsetzen und erhalten:
.
Auch diese allgemeine Form lässt sich geometrisch darstellen. Wir können dabei und h mithilfe des Schiebereglers verändern
Aufgabe 1:
a) Setze die Funktionund in den Differenzquotienten ein.
b) Multipliziere die Klammer im Zähler aus.
c) Vereinfache den Zähler soweit wie möglich.
Aufgabe 2:
a) Beschreibe kurz in Worten, wie in der Grafik aus der Sekante eine Tangente wird. Welcher Schieberegler muss verwendet werden und welchen Wert muss er annehmen? VERGLEICHEN
Aufgabe 3:
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzquotienten. Um diesen Grenzwert zu bilden muss zunächst sichergestellt werden, dass nicht durch Null geteilt wird:
a) Notiere den Term aus Aufgabe 1c) und kürze im Zähler und Nenner.
b) Setze nun ein und streiche alle Terme, die dadurch den Wert 0 annehmen.
Für die schnellen:
Wenn du alles erledigt hast, bleibt als Gleichung stehen.
Berechne m für die Werte:
a)
b)
c)
d)
Vergleiche mit der Grafik. Überprüfe deine Antwort mit den untendstehenden Aufgaben.
a) Die Steigung bei beträgt:
b) Die Steigung bei beträgt:
c) Die Steigung bei beträgt:
d) Die Steigung bei beträgt: