Integral real sobre superficies.
Definición
La integral de una función escalar sobre una superficie.
Si es una función continua de valor real definida en una superficie parametrizada
, definimos la integral de sobre como
1.-Evalúa la integral de la función sobre la superficie S dada por:
, , .
Calcula las derivadas parciales de Φ(u, v):
y
Calcula el producto cruz :
Calculamos la magnitud:
Ahora, evaluamos la integral:
Primero, integremos con respecto a u:
Ahora, integramos el resultado con respecto a v:
Por lo tanto, el valor de la integral de superficie es .
2.-Evalúa la integral de la función f (x, y, z) = z + 6 sobre la superficie S dada por:
, , .
Calculamos las derivadas parciales:
y
Calculamos el producto cruz:
Calculamos la magnitud:
Ahora, evaluamos la integral:
Primero, integremos con respecto a u:
Ahora, integramos el resultado con respecto a v:
Por lo tanto, el valor de la integral de superficie es .
3.-Evalúa la integral
,
donde S es la porción del plano que se encuentra en el primer octante.
Primero, parametrizamos:
, y
Ahora, la parametrización de la superficie S utilizando los límites encontrados. Podemos tomar:
, donde y .
Calculamos las derivadas parciales:
y
Calculamos el producto cruz:
Calculamos la magnitud:
Ahora, podemos evaluar la integral:
Primero, integramos con respecto a u:
Ahora, integramos el resultado con respecto a v:
Por lo tanto, el valor de la integral de superficie es .
4.-Evalúa la integral
,
donde S es la parte del cilindro con .
La ecuación del cilindro se puede parametrizar como:
, donde y .
Calculamos las derivadas parciales:
y
Calculamos el producto cruz:
Calculamos la magnitud:
Ahora, podemos evaluar la integral:
Primero, integramos con respecto a u:
Ahora, integramos el resultado con respecto a v:
Por lo tanto, el valor de la integral de superficie es .