Propositie 8
Als twee driehoeken drie zijden hebben die gelijk zijn aan drie zijden, dan zijn de driehoeken congruent.
Inleiding
In propositie 8 bewijst Euclides wat we nu kennen als het congruentiekenmerk ZZZ: twee driehoeken met drie gelijke zijden zijn congruent. Het bewijs steunt volledig op propositie 7.
Net als in propositie 4 gebruikt Euclides hier de techniek van de superpositie. Die techniek komt verder in Boek I niet meer voor.
Oude versie
Als twee driehoeken twee zijden hebben die gelijk zijn aan twee zijden, en ook de basis gelijk is aan de basis, dan zijn ook de hoeken gelijk die door de gelijke zijden ingesloten worden.
ABC en DEF zijn twee driehoeken met de twee zijden AB en AC gelijk aan de twee zijden DE en DF, namelijk AB gelijk aan DE en AC gelijk aan DF, en de basis BC gelijk aan de basis EF. Ik zeg dat ook de hoek BAC gelijk is aan de hoek EDF.
Als de driehoek ABC op de driehoek DEF wordt gelegd, en punt B op punt E wordt geplaatst en lijnstuk BC op EF, dan valt punt C samen met F, omdat BC gelijk is aan EF. (ai 4)
Omdat BC samenvalt met EF: als de zijden BA en AC niet zouden samenvallen met ED en DF, maar ernaast zouden vallen als EG en GF, dan zouden er op hetzelfde lijnstuk, vanuit dezelfde uiteinden, aan dezelfde zijde, twee andere rechte lijnen geconstrueerd zijn die elkaar ontmoeten in een ander punt en gelijk zijn aan de eerste twee. Maar dat is onmogelijk. (prop 7)
Dus is het niet mogelijk dat, als de basis BC samenvalt met de basis EF, de zijden BA en AC niet samenvallen met ED en DF. Ze vallen dus samen, zodat ook de hoek BAC samenvalt met de hoek EDF en daaraan gelijk is. (ai 4)