Kreise auf DARBOUX Cycliden

29. Juni 2020 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene

Eine DARBOUX Cyclide ist eine Fläche, implizit definiert durch eine Gleichung der Form
  • mit linearem , quadratischem und reellen Koeffizienten
Die Klasse dieser Flächen ist invariant unter räumlichen Möbius-Transformationen; zu ihnen gehören die Quadriken, Tori, DUPINsche Cycliden ... . Diese Flächen sind das räumliche Pendant der bizirkularen Quartiken. Mehr noch: jede Kugel oder Ebene schneidet eine DARBOUX Cyclide in einer bizirkularen Quartik. Dies gilt natürlich auch für Quadriken; es gilt aber auch das Umgekehrte: jede bizirkulare Quartik entsteht auf vielfache Weise als Schnitt einer Kugel mit einer Quadrik! Genau genommen sind bizirkulare Quartiken ebene Kurven 4. Ordnung. Wir identifizieren sie mit den Kurven auf der Einheitskugel (oder auf irgendeiner anderen Kugel), die aus den Quartiken mittels stereographischer Projektion entstehen: dies sind Schnittkurven der (Einheits-)-Kugel mit räumlichen Quadriken. Auf DARBOUX Cycliden existieren Scharen von Kreisen. Gibt es davon genügend viele davon, so findet man auf solchen DARBOUX Cycliden 6-Eck-Netze aus Kreisen. Wie findet man Kreise auf DARBOUX Cycliden? Eine Kugel, welche eine DARBOUX Cyclide doppelt - also in 2 Punkten - berührt, schneidet die Cyclide in 2 Kreisen, oder in einem doppelt-zählenden Kreis oder in 2 doppelt-zählenden Punkten (Berührung von Außen, bzw. von Innen). Kurze Begr.: die Schnittkurve der beiden Gleichungen besitzt 2 Doppel-Punkte und zerfällt in 2 Kreise, Punktkreise inbegriffen. Im Kapitel Hermitesche Abbildungen und bizirkulare Quartiken dieses books haben wir die doppelt-berührenden Kreise von bizirkularen Quartiken detailliert untersucht. Besitzt eine DARBOUX Cyclide eine Symmetrie-Kugel oder eine Symmetrie-Ebene, so ist die Schnittkurve natürlich auch eine bizirkulare Quartik. Ein Kreis, der eine solche Quartik doppelt berührt, läßt sich zu einer doppelt-berührenden Kugel fortsetzen, welche zur Symmetriekugel oder - Ebene symmetrisch (orthogonal) liegt! Im Applet oben wird eine dieser doppelt-berührenden Kugelscharen und ihre Schnitt-Kreise mit der DARBOUX Cyclide exemplarisch konstruiert und angezeigt.
  • Gleichung der Cyclide:
Die vorliegende Cyclide besitzt 4 reelle Symmetrieen: die Koordinatenebenen und die Einheitskugel. Die ebenen Schnittkurven sind 2-teilige bizirkulare Quartiken: in die -Ebene um 90° gedreht. Die räumlichen Quartiken sind als Parameter-Kurven erzeugt. Für die bizirkulare Quartik in der -Ebene haben wir eine der 4 doppelt-berührenden Kreisscharen ausgewählt: die -achsensymetrischen "DB"-Kreise haben eine interessante Eigenschaft. In der Schar liegen einige Kreise, welche die Quartik nicht reell doppelt berühren. Die zugehörigen doppelt-berührenden Kugeln schneiden die DARBOUX Cyclide dennoch in reellen Kreisen!
Die Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise verwendet die allgemein-gültige Eigenschaft der Leitkreise dieser Kreisscharen:
  • Spiegelt man einen der Brennpunkte - hier f - an den doppelt-berührenden Kreisen einer Schar, so liegen die Spiegelbilder auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis.
Im Applet oben konstruiert man zuerst den Leitkreis, und mit Hilfe des THALES-Kreises zu jedem Punkt auf dem Leitkreis den zugehörigen doppelt-berührenden Kreis. Die doppelt-berührenden Kreise sind Winkelhalbierende oder Symmetrie-Kreise der "Brennkreise": zur -Achsen-Symmetrie gehören 2 Brennpunktpaare; die Kreise durch diese Brennpunkte und die Quartikpunkte sind die Brennkreise. Die Schnittpunkte der zugehörigen doppelt-berührenden Kugel mit der bizirkularen Schnittquartik in der -Ebene führt zu den gesuchten Kreisen auf der DARBOUX Cyclide. Da uns eine Parameter- Darstellung der Cyclide nicht bekannt ist, erzeugen wir die Cyclide mit Hilfe der Spur der Höhenlinien: Animation! Die Cyclide läßt sich auch als Spur der Kreise anzeigen.