SR1 PEI2 2021
- Tema:
- Ángulos, Cubo, Geometría, Triángulos
Enunciado
En la figura se representan las proyecciones cónica y ortogonal de un hexaedro regular (A)-(B)-(C)-(D)-(E)-(F)-(G)-(H), siendo V'' la proyección ortogonal del centro de proyección cónica, (V). V'' coincide con el vértice (E) del hexaedro.
1- Obtener gráficamente el ángulo α que forman los segmentos (A)(C) y (E)(B).
2- Calcular el radio R del círculo de distancias de (V).
3- Determinar O, la proyección cónica del centro (O) del hexaedro.
Explicación
La resolución de cada apartado puede verse con el deslizador correspondiente. La vista 3D puede rotarse a voluntad.
Apartado 1
1 - Los segmentos cuyo ángulo se pide son una de las diagonales de cara de la cara superior (A)(C), y de la cara frontal (E)(B).
2 - Dado que son dos segmentos que se cruzan en el espacio, el ángulo pedido es el que forman sus direcciones. Para ello se puede determinar el ángulo que forman cualquier pareja de segmentos paralelos a los dados. Por ejemplo, se puede mantener el segmento sEB, y determinar el ángulo que forma con el segmento (E)(G), que coincide con s''AC.
3 - Para ello se puede abatir el plano que forman, empleando s''AC como charnela (bisagra de abatimiento).
4 - El punto (B) ha de abatirse según una perpendicular a s''AC, y la verdadera magnitud del segmento (E)(B) es conocida, al ser una diagonal de cara.
5 - Segmento abatido.
6 - El ángulo α formado son 60º.
Apartado 2
1 - El vértice (V) en el espacio está colocado sobre los puntos (E) y (A), y las líneas lima en la vista 3D indican como desde (V) se proyecta cada punto de la cara superior en su proyección cónica, B, C y D. El radio R buscado coincide con zV, la altura de (V).
2- Esta altura se puede determinar abatiendo cualquiera de los triángulos rectángulos que tienen como vértice a (V), por ejemplo el que forman (V), V'' y B, que será semejante al que forman (B), B'' y B.
3 - Al conocer zB la altura del punto (B), que es una arista del hexaedro, se puede abatir en perpendicular B1, con lo que el triángulo pequeño está definido y
4 - por lo tanto también lo está el grande de vértice V1.
5 - Como se ha dicho antes, la zV coincide con el radio R del círculo de distancias.
6 - Nótese que al no necesitar ninguna información angular, dado que sólo se buscaba la altura de (V), se podría haber abatido cualquier punto (entre (D), (C) y (B)), según cualquier dirección, y se hubiera obtenido el mismo resultado. En este caso, se abate (C) de forma que C1 coincide con B'', al ser zC igual al lado el cubo, y el zV paralelo queda determinado igual.
Apartado 3
1 - El centro (O) del cubo queda determinado, por ejemplo, por la intersección de cualquier pareja de diagonales, por ejemplo (E)(C) y (H)(B).
2 - Y se pide la proyección cónica O de dicho punto (O) desde (V). Es posible determinar dicha proyección simplemente por pertenencia:
3 - Las proyecciones '' de los segmentos anteriormente mencionados son inmediatas, s''HB y s''EC, y en su intersección está O''.
4 - E igualmente puede hacerse con las proyecciones cónicas de ambos segmentos sHB entre las proyecciones cónicas H y B, y sEC entre las proyecciones cónicas E y C. La proyección cónica O está en la intersección de sHB y sEC.
Puede encontrar documentación relevante aquí (Apuntes Sistemas de Representación FMG v1.0).