G 03 Három gömbi egyenes
- Szerző:
- Szilassi Lajos
Legyen A1, B1, C1 a gömbfelület három általános helyzetű pontja!
Ezek három gömbi egyenest határoznak meg, amelyek második metszéspontja rendre A2, B2, C2 .
Az így kapott hat pont a három G-egyenest négy-négy G-szakaszra, ezek a gömbfelületet nyolc G-háromszögre osztják.
A gömbi geometriában gyakran felbukkanó negyed-körívnyi G-szakaszt a továbbiakban - nevezzük kvadránsnak!
Igaz-e, hogy :
- ha van olyan gömbháromszög, amelynek mindhárom oldala kvadráns, akkor az összes szakasz kvadráns, és egymással egybevágók;
- ha egy G-háromszög két oldala kvadráns, akkor minden G-háromszögnek pontosan két oldala kvadráns;
- ha egy G-háromszögnek pontosan egy oldala kvadráns, akkor minden G-háromszögnek pontosan egy oldala kvadráns;
- minden esetben van két olyan háromszög, amelyeknek mindhárom oldala ugyanolyan színű;
Egy technikai tanács a fenti applet használatához
Csak az A1, B1 és C1 pont a fenti applet három interaktívan mozgatható objektuma. A keletkező gömbháromszög lapok megjelenítése sok - valós idejű - számolást igényel, ez darabossá teszi a pontok mozgatását. Ezért a pontok mozgatásakor kikapcsoltuk a felületek megjelenítését vezérlő Δ jelölőnégyzetet, amit a pontok beállítását követően újból be kell (lehet) kapcsolni. Ahhoz is kell némi idő és türelem, hogy ez a változás látszódjon is.
A gömbháromszög területe
Legyenek a T területű A1B1C1 Δ - ívmértékben mért szögei - rendre α , β és γ ! Megmutatjuk, hogy éppúgy, mint a hiperbolikus geometriában - az egységnyi sugarú gömbháromszög területe kizárólag a szögeitől függ.
Egy α szögű gömbkétszög Tα területe egyenes arányban függ α mértékétől. Mivel a gömb területe 4π,
α/(2 π)=Tα/(4 π) azaz Tα =α/(2π).
Fedjük le a gömböt azokkal a gömbkétszögekkel, amelyek szögei α, β és γ. Ezzel az egész gömbfelületet lefedtük, az A1B1C1 Δ -et és az átellenes gömbháromszögét három-három rétegben is, ami 4T-vel több, mint a gömb felszíne: 4π=2(Tα+Tβ+Tγ)-4T. Ebből T=( α+β+γ)-π .
Eszerint a G-háromszögek szögeinek az összege nagyobb 180°-nál, és van legnagyobb területű -félgömb felületté fajuló -gömbháromszög. Ha ez szabályos, akkor a szögei 120°-osak.