Ayuda (2) para probar la Fórmula de Pick (cuadrilátero)
Este applet es una adaptación de Ayuda para probar la fórmula de Pick realizado por Rafael Losada Liste. En él se ha tomado la opción 4.
El applet mencionado da pistas para comprobar que la fórmula de Pick A=i+p/2-1, donde i es la cantidad de puntos de la cuadrícula que se encuentran en el interior y p los del perímetro, es válida para obtener el área de un triángulo.
Veremos ahora que lo será también para calcular el área de un cuadrilátero a partir de dos triángulos que tienen un lado común. Empezaremos con la figura que se presenta en el applet. Más tarde podrás desplazar los vértices para analizar otros casos.
En primer lugar estudiaremos los dos triángulos T1 sombreado en verde y T2 en blanco
El triángulo T1 (D1,D3,D2) tiene puntos en:
- Perímetro: 8= 3+ 5, 3 son vértices (2 comunes con T2) y 5 en los lados (3 de ellos situados en el lado común con T2)
- Interior (3)
- Área = 3 + 8/2 -1 = 6 u2.
- Perímetro: 10= 4+ 7, 3 son vértices (2 comunes con T1) y 7 en los lados (3 en el lado común con T1)
- Interior (16)
- Área = 16 + 10/2 -1 = 20 u2.
- Perímetro: 10= 4+ 2+ 4 . 4 son vértices (2 comunes con T1) y 6 en los lados (2 exclusivos de T1 y 4 exclusivos de T2). Otra forma de calcularlo sería sumar los 8 de T1 con los 10 de T2 y ahora restar las repeticiones, 2 de vértices y 6 porque se han contado dos veces los del lado común 10 = 8 + 10 - 6
- Interior: 22 = 3 +16+3. Los 3 y 16 del interior de cada triángulos siguen en el interior del cuadrilátero y hay que añadir los tres que estaban en el lado común que ahora están en el interior del cuadrilátero.
- Área = 22 + 10/2 -1 = 20 u2.
En primer lugar estudiaremos los dos triángulos T1 sombreado en verde y T2 en blanco
El triángulo T1 (D1,D3,D2) tiene puntos en:
- Perímetro: 8= 3+ 5, 3 son vértices (2 comunes con T2) y 5 en los lados (3 de ellos situados en el lado común con T2)
- Interior (3)
- Área = 3 + 8/2 -1 = 6 u2.
- Perímetro: 10= 4+ 7, 3 son vértices (2 comunes con T1) y 7 en los lados (3 en el lado común con T1)
- Interior (16)
- Área = 16 + 10/2 -1 = 20 u2.
- Perímetro: 10= 4+ 2+ 4 . 4 son vértices (2 comunes con T1) y 6 en los lados (2 exclusivos de T1 y 4 exclusivos de T2). Otra forma de calcularlo sería sumar los 8 de T1 con los 10 de T2 y ahora restar las repeticiones, 2 de vértices y 6 porque se han contado dos veces los del lado común 10 = 8 + 10 - 8.
- Interior: 22 = 3 +16+3. Los 3 y 16 del interior de cada triángulos siguen en el interior del cuadrilátero y hay que añadir los tres que estaban en el lado común que ahora están en el interior del cuadrilátero.
- Área = 22 + 10/2 -1 = 20 u2.
Tareas
- Modifica los vértices de los triángulos y realiza los cálculos anteriores para comprobar que en el cuadrilátero resultante de unir dos triángulos que tienen un lado común.
- Después de familiarizarte con la situación en algunos casos prácticos, realiza los cálculos de forma algebraica. En T1 llama i a la cantidad de puntos del interior y p al la cantidad de puntos del perímetro (o contorno). Para T2 llama j a los puntos del interior y q a los del perímetro. Intenta comprobar que el área del cuadrilátero será A = (i+j)+ (p+q)/2 -1