中の定理の拡張その３
- 作成者:
- Bunryu Kamimura
TriangleCenter(A, B, C, n_1)を使って、角度がぴったり同じ点（心）を調べる。等角共役点を結んだ線がオイラー線と平行になる場合はX_3，ⅹ_４，ⅹ_１３，ⅹ_１４，ⅹ_１５，ⅹ_１６の時。コツコツと３０００まで調べた。等角共役だからこれらの点はペアになっている。５点を結んだ二次曲線を作図してみたが違っていた。
オイラー線と平行になる等角共役点に当たる心
当然ながらペアになっている。（それぞれⅩの添え字番号）
３ーーーーー４ 外心ーーー垂心
１３ーーーー１５ 第一フェルマー点ーーー第二等力点
１４ーーーー１６ 第二フェルマー点ーーー第二等力点
３９９ーー１１３８
４８４ーー３０６５
６１６ーー３４４０
６１７ーー３４４１
１２７７ーー
１３３７ーー３４７９
１３３８ーー３４８０
２１３３－－
これらの点の共通点は何だろう？ 二次曲線を作図すると、はみ出す点があるので二次曲線ではない。ではこれらの点を正確に作図するにはどうしたらいいのだろうか。
まず、等角共役点の軌跡を求めてみる。ＤをＵの垂線上において、locusコマンドでＥの軌跡を描いてみたら二次曲線（AとBを通る水色の双曲線）となった。双曲線のこの場合は、Ｄを動かしてみると平行になる位置が３つある。
もっとわかりやすくするため、Ｕからオイラー線に対して平行線ｅを引いて、その上にＤを置いてみた。すると二次曲線とｅの交点が求めたい等角共役点だとわかる。Ｕを動かしてみよう。なお、locusではなくLocusEquation(E, D)を使うとｅとの交点も求めることができる。
三角形の中だけで二次曲線を作図してみた。Ｒを動かしてみよう。ほぼあっているが少しずれる。２次ではなく３次曲線だと感じる。
作図完成。角度もぴったり合う。左下の▲をクリックしてアニメーションを動かしてみよう。楕円でなく卵型だ。もう一つの「中三角形」も作図してみよう。
「中の定理」の拡張
このシュミレーションによって、
オイラー線に平行な等角共役点の作る「中三角形」は△ABCと相似になる
ことが示せた。
つまり、外心と垂心はこの特別な場合であり、「中の定理」の一つの拡張である。