Teoria
Katkaistun ympyräkartion vaipan pinta-ala saadaan kaavalla ,missä r ja R ovat pohjien säteet ja s on vaipan sivujanan pituus.
Jos yllä olevan kuvan tummennetun suikaleen pinta-ala halutaan laskea, niin periaatteessa käytämme samaa kaavaa. Suikaleen sivujanan pituutta kuvaa ds, joka riippuu muuttujien x ja y arvojen mukaisesti välillä [a, b]. Jos siis halutaan pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala välillä [a, b], on ds pystyttävä ilmoittamaan näiden avulla. Alla olevan kuvan perusteella sivujanan pituutta voidaan approksimoida Pythagoraan lauseen avulla eli
Koska approksimaation tarkkuutta voidaan lisätä lyhentämällä väliä, niin yllä oleva kaava saadaan ilmoitettua derivaattojen avulla eli
Yhden äärimmäisen pienen suikaleen pinta-alaa voidaan siis approksimoida kaavalla
,
kun käyrä pyörähtää x-akselin ympäri. Laskettaessa koko pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala välillä [a, b] käyrän pyörähtäessä x-akselin ympäri on meillä yhteenlaskettavana äärimmäisen monta suikaletta, joten integraalin määritelmän perusteella voidaan sanoa:
Jos käyrä pyörähtää y-akselin ympäri, niin alla olevan kuvan mukaisesti havaitaan kaavan olevan muotoa
