Lineaarinen funktio
- Author:
- P Porras
Lineaarisista eli ensimmäisen asteen polynomifunktioista puhutaan, kun muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleinen muoto ensimmäisen asteen polynomifunktiolle on
missä k on funktion kulmakerroin ja c on funktion ja y-akselin leikkauspiste. Lineaarisen funktion kuvaaja on suora.
Alla olevalla appletilla voit tutkia parametrien vaikutusta funktion kuvaajaan. Parametrien arvoja voi vaihdella liikuttamalla liukukytkimiä.
Kulmakertoimen k merkki selkeästikin vaikuttaa suoran kulkusuuntaan:
k > 0: suora on nouseva
k < 0: suora on laskeva.
Mikäli kulmakerroin on tiedossa, niin ensimmäsen asteen polynomifunktio voidaan määritellä yhden pisteen avulla. Jos tunnettua pistettä merkitään (x0, y0), niin määrittämiseen voidaan käyttää kaavaa
.
Esimerkki 1. Määritä pisteen (-2, 1) kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on -3.
Ratkaisu 1. Nyt tunnettu piste (x0, y0) on (-2, 1) sekä suoran kulmakerroin k = -3. Sijoittamalla edelliseen kaavaan saadaan
Kahden pisteen välille määritetty suora on yksikäsitteinen, joten suora voidaan määritellä näiden pisteiden avulla. Kulmakerroin kuvaa suoran kaltevuutta: mitä suurempi kulmakerroin (ilman etumerkkiä), sitä jyrkempi nousu tai lasku.
Tutkittaessa vieressä olevia kiiloja huomataan, että ensimmäisessä kiilassa pystysuora nousu Δy1 on huomattavasti suurempi kuin jälkimmäisessä kiilassa, vaikka kiilojen pituus on sama Δx. Laskettaessa suoran y-arvoja muuttujan x avulla tämä asia huomioidaan kulmakertoimen määrittelyssä. Muuttujan x yhden arvon muutos aiheuttaa jyrkemmässä suorassa suuremman muutoksen y –arvoihin kuin loivemmassa suorassa. Määriteltäessä kulmakerroin
saadaan jyrkkyys huomioitua oikein. Jos Δy on vähemmän kuin Δx, niin suhde on alle yksi ja x:n arvon muutos ei vaikuta niin paljoa y:n arvojen muutokseen. Vastaavasti jyrkemmissä suorissa Δy on enemmän kuin Δx ja suhde on yli yksi ja vaikutus on voimakkaampaa.
Alla olevassa appletissa voit vaihtaa pisteiden A ja B paikkaa. Päättele samalla, kuinka funktion määrittely on muodostettu.
Suora kahden pisteen avulla
Määriteltäessä suoraa kahden pisteen (x1, y1) ja (x2, y2) avulla Δy ja Δx saadaan suoraan pisteistä eli
Esimerkki 2. Määritetään pisteiden (-2, 1) ja (3, 5) kautta kulkeva suora.
Ratkaisu 2. Tunnetut pisteet ovat (x1, y1) = (-2, 1) ja (x2, y2) = (3, 5). Kulmakertoimeksi saadaan edellisellä kaavalla eli
Nyt suoran yhtälöksi saadaan
Suoran yhtälö voidaan antaa myös normaalimuodossa Jos halutaan esittää suora funktion muodossa, vastaus annettaisiin
Esimerkki 3. Aloitettaessa paine on 6.0 MPa ja minuuttia myöhemmin 0 MPa. Jos paine on lineaarisesti riippuvainen ajasta, niin mikä on paine ajanhetkellä t = 32 s.
Tunnetut pisteet ovat ja
Ts.
Laskujen perusteella paine näyttäisi olevan lineaarisesti pienenevä, niin ajanhetkellä t = 32 s paine vaikuttaisi olevan
Ongelmia?
1. Mistä sitten tiedät kumpi pisteistä on (x1, y1) ja kumpi on (x2, y2)?
Vastaus on yksinkertainen: ei mitään väliä, koska
.
2. Mikä sitten on suoran määrittävässä yhtälössä oleva piste (x0, y0)?
Vastaus: Ihan kumpi tahansa annetuista pisteistä voi olla piste (x0, y0). Molemmathan ovat tunnettuja ja molempien on oltava ko. suoralla.
Suoran piirtäminen
1. Jos suora piirretään funktion määrittelyn avulla, saat lähtöpisteen vakiosta. Vakio on funktion ja y-akselin leikkauspiste. Jos tehtävässä on annettu piste, joka on suoralla, käytä sitä.
2. Siirry tästä pisteestä kulmakertoimen nimittäjän verran oikealle ja osoittajan verran joko alas- tai ylöspäin kulmakertoimen merkin mukaisesti. Tästä saat toisen pisteen.
3. Piirrä suora näiden pisteiden välille.