Singular Value Decomposition (SVD)

Author:
kthanos
Θέλουμε να διαγωνιοποιήσουμε έναν τετραγωνικό πίνακα A αλλά όχι μέσω της σχέσης X-1AX = L . Έστω δύο σύνολα ιδιαζουσών διανυσμάτων u=(u1,u2,...,ur) και v=(v1,v2,...,vr) όπου r είναι η τάξη του πίνακα A. Οι συνιστώσες του διανύσματος u, ανήκουν στο χώρο στηλών του A και αποτελούν τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα AAT ενώ οι συνιστώσες του v ανήκουν στο χώρο γραμμών του A και αποτελούν τα ιδιοδιανύσματα του ATA. Οι πίνακες AAT και ATA είναι και οι δύο συμμετρικοί, και τα ιδιοδιανύσματα τους μπορούν να θεωρηθούν ορθοκανονικά δηλαδή να έχουν μηδενικό εσωτερικό γινόμενο. Ισχύει οι σχέση AV = UΣ .
Image
Δοθέντος του τετραγωνικού πίνακα A υπολογίζω τον ανάστροφο AT και στη συνέχεια το γινόμενο των δύο πινάκων ATA. Στη συνέχεια της λύσης ως πίνακας θεωρείται ο Α = [{2,2}; {-1,1}].
Image
Στη συνέχεια υπολογίζουμε τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα ATA και κάνουμε κανονικοποίηση αυτών.
Image
Βρίσκουμε τις θετικές τιμές του διαγώνιου πίνακα Σ μέσω των ιδιοτιμών του ATA.
Image
Υπολογίζουμε τα διανύσματα u μέσω των Av που βρίσκονται στην κατεύθυνση των u.
Image
Σημείωση : Μπορούμε να υπολογίσουμε τα διανύσματα u από τα v. Όμως μπορούμε και απευθείας από το γινόμενο AAT και όχι από το ΑΤΑ. Τα διανύσματα u τότε, είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα AAT.
Image
Τελικά από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι singular values είναι οι και .