Formalização

Para iniciar a formalização das questões, o professor pode dobrar ao meio uma folha de papel A4, depois dobrar novamente, e seguir dobrando-a ao meio – o que vai fazer com que se forme um retângulo cada vez menor, mas de espessura cada vez maior. Com isso, em certo momento será difícil continuar fazendo dobras e a sétima dobra já é praticamente impossível, tendo assim um limite físico – o que responde à questão a.   Na questão b, o professor pode utilizar a estratégia i e iii. A estratégia i auxiliará a chegar na função para a questão proposta, concluindo que ao fim de n dobragens, a espessura atingida será . Para resolver, é necessário deixar os valores na mesma unidade de medida, aqui optamos por deixar tudo em quilômetros, então, teremos que a espessura da folha é dada por: .Como queremos calcular o número mínimo de dobras para chegar na distância da Terra à Lua, substituímos e(n) por 38440 km, assim teremos: . Aplicando logaritmo de base 10: . No entanto, como n deve ser um número inteiro (pois não há meia dobra), a espessura de papel (altura) que ultrapassa a distância da Terra à Lua é na 42ª dobragem, logo, temos que: . Nesse momento, o professor pode enfatizar que a solução (valor de n) pode variar ligeiramente conforme a espessura do papel que for considerada no cálculo. Além disso, pode questionar com os alunos, se antes de resolverem o problema, eles imaginariam que a resposta poderia ser essa, já que é um número pequeno considerando a distância da Terra à Lua. Para finalizar, na questão c, o professor pode utilizar uma construção no GeoGebra para mostrar o que acontece com a função, conforme aumentamos o valor de n.

Nessa construção, conforme é manipulado o controle deslizante “n”, o ponto “P” fornece o número de dobras (n) e a respectiva espessura ou altura que seria formada. Essa construção, mostra o resultado em metros, mas nada impede que seja mudado para outras unidades de medida. Além disso, no aplicativo, para alguns valores de “n”, fornece imagens de algumas construções ou distâncias para os alunos visualizarem melhor essas alturas. O professor pode destacar que esses resultados se devem pelo fato da função ter um crescimento exponencial, ou seja, conforme o número de vezes que o papel seja dobrado, a sua espessura (altura) irá crescer cada vez mais, tendendo ao infinito. O que então, simbolicamente, pode ser expresso como: (Propriedade de limites: O limite de um produto de duas funções é igual ao produto dos limites destas funções). Isso significa, que matematicamente não existe o limite da função. Porém, o professor pode discutir os resultados desse problema, analisando as condições físicas, já que, existe uma área calculável para o Universo. Os especialistas chamam essa área calculável de Universo observável, que tem um diâmetro estimado em 93 bilhões de anos-luz. Desse modo, se a folha de papel de 0,1mm fosse dobrada ao meio mais de 103 vezes ela teria uma espessura tão grande que até mesmo ultrapassaria esse valor! Ficando então, fora do universo observável.