Teorema da Complementaridade: Uma Abordagem Geométrica no Círculo Unitário
Em qualquer triângulo retângulo, os dois ângulos agudos, e , são complementares (). Existe uma simetria fundamental entre as razões trigonométricas desses ângulos: a identidade sen(α) = cos(90°− α). Mas, além de uma fórmula, ela é uma manifestação da simetria do círculo trigonométrico. Esta atividade é um convite para explorar a conexão geométrica por trás dessa identidade. Ao interagir com a ferramenta Geogebra, observem como a relação entre os catetos de um triângulo retângulo se manifesta nas coordenadas de pontos com ângulos complementares. O objetivo não é apenas ver que a identidade é verdadeira, mas entender o porquê. Usem a visualização para construir um argumento geométrico sólido.
Segundo o Teorema da Complementaridade do Seno e do Cosseno, para um ângulo agudo θ em um triângulo retângulo, o valor do seno desse ângulo é igual ao valor do cosseno de seu ângulo complementar, ou seja, (90°− θ). Formalmente, para qualquer θ tal que 0° < θ < 90°:
- sen(θ)=cos(90° − θ)
- cos(θ)=sen(90° − θ)
- Interação: Utilize o controle "Mover o triângulo" para alterar o valor do ângulo agudo α. Observe como o triângulo retângulo inscrito no círculo unitário se modifica e como o ponto P se move ao longo da circunferência.
- Análise Visual: No círculo unitário, o seno de um ângulo é representado pela coordenada y e o cosseno pela coordenada x do ponto correspondente na circunferência. Preste atenção especial à relação entre o triângulo associado a α e o triângulo associado ao seu complemento, (90°− α).
Questão 1) Considere o ponto P no círculo unitário que corresponde a um ângulo α. Usando a sua observação da atividade, descreva como as coordenadas do ponto P estão relacionadas com as coordenadas do ponto Q que corresponde ao ângulo (90° − α).
Questão 2) Sem recorrer às fórmulas, explique com suas próprias palavras por que o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complemento em um triângulo retângulo. A sua resposta deve ser baseada na definição de seno e cosseno como razões de lados.
Questão 3) Escolha um dos métodos abaixo e apresente uma prova rigorosa do Teorema da Complementaridade, mostrando que sen(θ)=cos(90°−θ):
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