Anwendungsaufgabe Extremstellen AFB I + II
Ein Unternehmen stellt ein Produkt her und hat die Gewinnfunktion , wobei x die Anzahl der produzierten Einheiten (in Tausend) darstellt und den Gewinn in Tausend Euro angibt. Bestimme die Produktionsmenge , bei der das Unternehmen maximalen Gewinn erzielt und berechne den maximalen Gewinn.
Lösungsschritte und Hilfestellungen
Schritt 1: Ableitungen berechnen
Für die Bestimmung der Extremstellen der Gewinnfunktion benötigen wir die erste und zweite Ableitung von .
1. Erste Ableitung :
2. Zweite Ableitung :
Schritt 2: Erste Ableitung nullsetzen (Kandidaten für Extremstellen finden)
Setze , um die möglichen Extremstellen zu finden:
Teile die Gleichung durch :
Diese Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen.
Die Lösungen sind:
und
Schritt 3: Zweite Ableitung anwenden (Hinweis auf Maximum oder Minimum)1. Setze in die zweite Ableitung ein:
Da , handelt es sich bei um ein Maximum.
2. Setze in die zweite Ableitung ein:
Da , handelt es sich bei um ein Minimum.
Schritt 4: Funktionswerte an den Extremstellen berechnenBerechne den maximalen Gewinn, indem du in die Gewinnfunktion einsetzt:
Der maximale Gewinn beträgt also 404 Tausend Euro, wenn x = 8 Tausend Einheiten produziert werden.