Signo, suma, resta y orden
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Una visión geométrica de las operaciones aritméticas.
3. ¿De qué signo eres?
La circunferencia unitaria corta al EjeX en I, pero también en otro punto, I', simétrico a I con respecto a O, cuyas coordenadas son (–1, 0). El signo "menos" de la abscisa indica, pues, un cambio de orientación: I' se encuentra a la misma distancia de O que I, pero a la izquierda de O.
Algebraicamente, las abscisas de I y I' corresponden a las soluciones del sistema formado por la ecuación de la circunferencia unitaria (x2 + y2 = 1) y la ecuación del eje de abscisas (y = 0). Es decir, son las dos soluciones de x2 = 1.
La circunferencia unitaria corta también al eje de ordenadas, en dos puntos que usaremos más adelante: Iy(0, 1) e I'y(0, –1).
Dado A(a, 0), a será positivo cuando A diste de I menos que de I' y negativo cuando diste más. Evidentemente, esto equivale a señalar como positivos los valores reales correspondientes a las abscisas de los puntos situados a la derecha de O y como negativos los correspondientes a los situados a la izquierda. Por extensión, y para evitar perífrasis, también diremos que A es positivo (o negativo) cuando a lo sea.
En el caso |AI| = |AI'|, el punto A coincide con O, y el valor de a será, por lo tanto, 0 (ni positivo ni negativo, sino nulo).
4. La adición y la suma
Ya estamos preparados para representar geométricamente las operaciones aritméticas. Observemos en primer lugar que, dados dos puntos A(a, 0) y B(b, 0), el punto medio de ambos está fuertemente relacionado con la suma de sus coordenadas (pues tiene por abscisas exactamente la mitad de esa suma). Por lo tanto, para sumar a + b, basta reflejar O en el punto medio de A y B, obteniendo el punto S(a + b, 0). (Nota: tradicionalmente, para hallar el punto medio de A y B, se hace uso del trazado, con regla y compás, de la mediatriz del segmento AB, pero GeoGebra dispone de una herramienta y un comando directos.)
Con GeoGebra, dados A y B:
1. M = PuntoMedio(A, B)
2. S = Refleja((0,0), M)
Esto equivale, analíticamente (recordemos que GeoGebra también opera con los puntos como si fuesen vectores de posición), a:
S = A + B
Propiedades:
P1. Interna (la recta EjeX es cerrada para la suma). Para cualesquiera a y b, se verifica que a + b es un número real, ya que, por construcción, el punto S pertenece al EjeX.
P2. Conmutativa. Para cualesquiera a y b, se verifica que a + b = b + a, ya que el punto medio de A y B es el mismo que el de B y A.
P3. Asociativa. Para cualesquiera a, b y c, se cumple (a + b) + c = a + (b + c), ya que el punto medio de (a + b, 0) y C coincide con el punto medio de A y (b + c, 0).
P4. Existe elemento neutro (0). Para cualquier a, a + 0 = a, ya que al reflejar O en el punto medio de A y O, obtenemos A.
P5. Simétrico respecto a la suma (opuesto). Para cualquier a, se verifica que a + (−a) = 0, ya que el punto medio de A y A' es O.
P6. El opuesto del opuesto de a es a, −(−a) = a, pues (A')' = A.
P7. |−a| = |a|, pues A' dista de O lo mismo que A.
P8. Si a es positivo, −a es negativo, y viceversa, pues O es siempre el punto medio de A y A'.
P9. La suma a + b será positiva cuando el punto correspondiente que diste más de O (ya sea A o B) sea positivo. En el caso de que ambos disten igual, será positiva si ambos son positivos y cero si uno es negativo y el otro positivo. En cualquier otro caso, a + b será negativa.
5. La sustracción y la resta o diferencia
Para restar a − b, sumamos a + (−b), obteniendo el punto D(a − b, 0).
Con GeoGebra, dados A y B:
1. B' = Refleja(B, (0,0))
2. M = PuntoMedio(A, B')
3. D = Refleja((0,0), M)
Esto equivale, analíticamente, a:
D = A − B
Observemos que M((a − b)/2, 0), por lo que D(a − b, 0).
La sustracción no es conmutativa. Por ejemplo, 0 – 1 no coincide con 1 – 0, pues en el primer caso obtenemos la abscisa de I' y en el segundo la de I.
Veamos ahora que el valor absoluto de la diferencia, |a – b|, corresponde a la distancia entre A y B, |AB|. Distinguiremos seis casos:
P1. A coincide con O. En tal caso, |AB| = |OB| = |b| = |–b| = |0 – b| = |a – b|
P2. B coincide con O. En tal caso, |AB| = |OA| = |a| = |a – 0| = |a – b|
P3. A y B son ambos positivos. En tal caso, |AB| = | |OA| – |OB| | = |a – b|
P4. A y B son ambos negativos. En tal caso, A' y B' son ambos positivos, por lo que |AB| = |A'B'| = |–a + b| = |a – b|
P5. A es positivo y B negativo. En tal caso, |AB| = | |OA| + |OB| | = |a + (–b)|
P6. A es negativo y B positivo. En tal caso, |AB| = | |OA| + |OB| | = |(–a) + b|
6. Orden (tricotomía)
Decimos que a es mayor que b cuando la diferencia a – b sea positiva, menor que b cuando sea negativa, e igual a b cuando sea nula.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.