Le théorème de Girard (ou l'aire d'un triangle sphérique)
- Auteur :
- Patrice Tremblay
Une lune (regardez l'appliquette ci-dessous pour comprendre d'où vient le nom) est l'une des quatre surfaces délimitées par deux grands cercles [c'est un polygone à deux côtés seulement!].
L'aire d'une sphère
Rappelons que l'aire d'une sphère de rayon est donnée par :
L'aire d'une lune
Appelons l'un des sommets d'une lune . Comme pour les triangles, nous appellerons aussi l'angle sphérique de la lune au sommet . Contrairement à un triangle sphérique, nous permettrons que l'angle sphérique d'une lune dépasse .
Il semble intuitivement clair que l'aire d'une lune recouvrant :
En généralisant hâtivement, l'on conclut que l'aire d'une lune ayant un angle mesure :
| toute la sphère (avec un angle sphérique de ) est la même que celle de la sphère (même si une telle lune serait un peu étrange...); | |
| | la moitié de la sphère (avec ) vaut la moitié () de celle de la sphère; |
| | le quart de la sphère (avec ) vaut le quart () de celle de la sphère; etc. |
Le théorème de Girard
L'appliquette ci-dessous démontre, avec un argument d'une élégante simplicité, une formule pour le calcul de l'aire d'un triangle sphérique.
On peut gigoter cette formule afin qu'elle ne dépende que des angles sphériques du triangle. D'abord, remplaçons les différentes aires par les formules permettant de les calculer, puis simplifions un peu :
Que de beautés!
A + B + C > 180° en reprise...
On peut la brasser un peu plus fort pour la faire parler davantage. Nous allons isoler la somme des angles :
donc
De cette équation découlent deux résultats que l'on connaît déjà (mais qui sont importants).
D'abord, puisque , il faut que
De plus, dans le plan, l'on sait que la somme des angles d'un triangle est de . Prenons le cas de la Terre, avec son rayon de . Si l'on dessine un petit triangle sur la surface de la Terre, à notre échelle de minuscule humain, l'aire de ce triangle sera si petite comparativement à que . Par exemple, si l'aire d'un triangle mesure (ce qui est tout de même appréciable), alors
Le est donc de mise. D'un point de vue pratique, nous aurons dans ce cas que
Un petit triangle sur la surface d'une sphère se comporte comme un triangle dans le plan, et c'est ce qu'un étudiant de géomatique expérimente chaque fois (ou presque) qu'il se retrouve sur le terrain.