Luz
![[color=#1e84cc][size=85]La función longitud recorrida [math]d(x)=a+b=\sqrt{y_A^2+(x-x_A)^2}+\sqrt{y_B^2+(x_B-x)^2}[/math] tiene un mínimo en [math]x[/math] si y solo si [math]\alpha=\beta[/math].[/size][/color]](https://www.geogebra.org/resource/ztcqry3d/H1196jwAEv47JlSk/material-ztcqry3d.png)
Un rayo de luz va de A a B, reflejándose en un espejo. Derivando , podemos hallar el mínimo trayecto posible y deducir que es aquel en que los ángulos y son iguales:
Este mínimo trayecto corresponde al recorrido más breve: es el camino que seguirá la luz porque es el que menos tiempo emplea (principio de Fermat). Ahora bien, ¿cómo sabe la luz cuál es ese camino?
La respuesta es simple, no lo sabe. Esa es precisamente una de las ideas más sorprendentes y elegantes de la formulación de Feynman: lo que en la física clásica parece un problema global de optimización surge, en la descripción cuántica, como una consecuencia automática de la superposición e interferencia. Es parecido (aunque mucho más extravagante y sutil) a preguntarse cómo "sabe" una cuerda vibrante resolver la ecuación de onda. La cuerda no resuelve ninguna ecuación diferencial; simplemente obedece las acciones locales, y el resultado global coincide con la solución matemática.
En esta construcción puedes ver un modelo del cálculo de esa solución (como insistió el propio Feynman, no es que los fotones se comporten "realmente" así, sino que su comportamiento final puede calcularse así). Para alcanzarla, Feynman piensa de modo similar que al lanzar una moneda al aire: tanto el estado inicial de la moneda como del fotón son indeterminados, así que solo podemos hallar una probabilidad. Y para ello necesitamos contemplar el espacio de sucesos (espacio muestral).
Algunos fotones salen de A y una vez que llegan al espejo se dirigen a B. En ese tiempo, sus fases (como números complejos asignados a la función de onda) van cambiando periódicamente. Al alcanzar el punto B, cada uno de ellos tendrá una fase diferente, por lo que la suma de todos será prácticamente nula (interferencia destructiva). ¿Todos? No. Los primeros en llegar alcanzan B casi con la misma fase, por lo que su interferencia es constructiva. Es el rayo que vemos. Resumiendo, la luz viaja por el camino más breve por pura probabilidad.
Elementos de esta construcción:
Si consideramos infinitos vectores de tamaño infinitesimal, al colocar un vector detrás del otro para sumarlos geométricamente, la figura resultante sería una clotoide (o espiral de Euler, o espiral de Cornu).
Más información.
- El número indica el número de caminos considerados posibles. (En la práctica, este número es infinito.)
- La gráfica corresponde a la longitud de cada trayectoria, en función de .
- La gráfica es la función derivada de .
- La ordenada de los pequeños puntos puntos blancos indica la diferencia de longitud entre un camino y el siguiente. Observa cómo se ajustan a la gráfica de la derivada .
¿Por qué?
- El punto M corresponde al mínimo de la función .
- El sentido y color de los pequeños vectores indica la fase, como número complejo, de cada fotón. Cada fase varía periódicamente con el tiempo, pero se detiene al ser detectado el fotón en B.
- Si la casilla "vectores" está activada, se mostrará la suma (vector negro en línea discontinua) de los pequeños vectores. Puedes mover el punto P a la zona que desees de la vista gráfica, para mejorar la visualización. Observa que cuando los distintos fotones alcanzan B, la mayoría de los vectores se arremolinan, mostrando que se anulan mutuamente. La suma solo es constructiva en los vectores centrales, correspondientes a los primeros fotones en alcanzar B.
Si consideramos infinitos vectores de tamaño infinitesimal, al colocar un vector detrás del otro para sumarlos geométricamente, la figura resultante sería una clotoide (o espiral de Euler, o espiral de Cornu).
Más información.
Puedes descargar la construcción directamente aquí.