Determinación de circunferencias de radio dado con condiciones angulares
Enunciado
Determinar las circunferencias de radio R que forman un ángulo α con la circunferencia c y un ángulo β con la recta r.
Explicación
Todo problema de determinación de circunferencias con un radio dado que forman condiciones angulares con circunferencias o rectas es un problema de lugares geométricos elementales. En el caso de una condición angular con una circunferencia, los lugares geométricos de centros de posibles soluciones serán circunferencias concéntricas con la dado. En el caso de que la condición angular sea con una recta, los lugares geométricos de centros de soluciones serán rectas paralelas. El problema se resolvería, por lo tanto, de manera análoga si las condiciones fueran con dos circunferencias (como puede verse aquí), dos rectas, etc.
En este problema los puntos O y Pc permiten determinar la posición y radio de la circunferencia c, y los puntos Pr1 y Pr2 determinan la posición de la recta r. Los deslizadores permiten controlar el radio R de las soluciones, el ángulo α y el ángulo β. que forman las soluciones con c y r respectivamente.
Un ángulo nulo (0º) se corresponde con una condición de tangencia, mientras que un ángulo de 90º se corresponde con una condición de ortogonalidad.
Los deslizadores de Pasoc y Pasor permiten ver los pasos de la resolución para la condición angular c y r respectivamente.
- Condición angular con c. Pasoc=
- Se toma un punto cualquiera P1, situado sobre c (el punto se puede mover libremente sobre c), para determinar las circunferencias c1 y c2 que con radio R forman un ángulo α con c pasando por dicho punto P1.
- Para ello se determina la tangente t1, por P1, perpendicular al radio de c por el punto.
- La tangente t1, a c1 y c2 por P1, forma un ángulo α con t1.
- Llevando la distancia R en las dos direcciones perpendiculares a la tangente t1,
- Se obtienen los centros O1 y O2 de las circunferencias c1 y c2. Como puede verse moviendo P1 (o pulsando el botón animación), para cualquier posición de P1 los centros O1 y O2 siempre distan d1 y d2 respectivamente de O, el centro de c.
- Por lo tanto todas los centros de las circunferencias de radio R que forman un ángulo α con c tienen su centro o bien en el lugar geométrico lgcs1 o en lgcs2, circunferencias concéntricas con c. Nótese que en el paso 3 la tangente podría haberse girado un ángulo -α, pero los centros O1 y O2 siguen estando sobre los lugares geométricos de centros de soluciones, por simetría.
- Los lugares geométricos son por lo tanto independientes del punto P1 elegido. En este paso se ocultan los pasos de resolución.
- Cuando el deslizador Pasor vale 7, se ven las intersecciones entre todos los lugares geométricos, resultando en hasta ocho Osi, centros de soluciones. Aparece entonces la casilla Soluciones, que permite mostrar todas las circunferencias solución si.
- Condición angular con r. Pasor=
- El proceso de resolución para una recta es completamente análogo. Se toma un punto cualquiera P2, situado sobre r (el punto se puede mover libremente sobre r), para determinar las circunferencias c3 y c4 que con radio R forman un ángulo β con r pasando por dicho punto P2.
- La tangente t3, a c3 y c4 por P2, forma un ángulo β con r.
- Llevando la distancia R en las dos direcciones perpendiculares a la tangente t3,
- Se obtienen los centros O3 y O4 de las circunferencias c3 y c4. Como puede verse moviendo P2 (o pulsando el botón animación), para cualquier posición de P2 los centros O3 y O4 siempre están a la misma distancia, d3 y d4, respectivamente, de r.
- Por lo tanto todas los centros de las circunferencias de radio R que forman un ángulo β con r tienen su centro o bien en el lugar geométrico lgcs3 o en lgcs4, rectas paralelas a r. Nótese que en el paso 2 la tangente podría haberse girado un ángulo -β, pero los centros O3 y O4 siguen estando sobre los lugares geométricos de centros de soluciones, por simetría.
- Los lugares geométricos son por lo tanto independientes del punto P2 elegido. En este paso se ocultan los pasos de resolución.
- Cuando el deslizador Pasoc vale 8, se ven las intersecciones entre todos los lugares geométricos, resultando en hasta ocho Osi, centros de soluciones. Aparece entonces la casilla Soluciones, que permite mostrar todas las circunferencias solución si.