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Steigung einer Funktion

Autor:Jürgen Roth
(A) Wie bestimmt man die Steigung des Funktionsgraphen einer linearen Funktion? Um die Frage zu klären, wie man die Steigung des Graphen einer beliebigen Funktion an einer interessierenden Stelle x1 bestimmt, ist es hilfreich, sich noch einmal bewusst zu machen, wie man die Steigung des Graphen einer linearen Funktion, das ist eine Gerade, ermittelt. Hinweis: Wenn man oben in der Mitte des Applets auf klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
(1) Klicke im Applet oben rechts auf , so dass der Funktionsterm und der Graph der Funktion f(x) = x + 1 dargestellt werden.
(2) Klicke den Auswahlknopf "Zuordnung" an. Dadurch werden gestrichelte grüne Linien sichtbar, die zeigen, dass dem Wert x1 der Funktionswert f(x1) und dem Wert x2 der Funktionswert f(x2) zugeordnet ist.
(3) Klicke jetzt den Auswahlknopf "Absolute Änderung" an und mache dir klar, was genau die rote Strecke und blaue Strecke inhaltlich bedeuten.

(4) Bewege den mit x2 beschrifteten roten Punkt auf der x-Achse langsam und beobachte, was dabei passiert. Beschreibe deine Beobachtung im Textfeld.

(5) Die Steigung einer Funktion gibt an, wie stark sich der Funktionswert verändert, wenn man den x-Wert verändert. Wie man am Funktionsgraph, der hier eine Gerade ist, erkennen kann, ist die Steigung bei einer linearen Funktion überall gleich. Begründe, warum sich beim Verändern der Lage von x2 auch die absolute Änderung der Funktionswerte verändert.

(6) Klicke auf den Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)", verändere anschließend die Lage von x2 und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate. Beschreibe was dir auffällt und begründe, warum das so ist.

Ergebnis Bei Graphen von linearen Funktionen kann man mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen. Dazu wird der Quotient aus der Differenz (absoluten Änderung) der Funktionswerte f(x2) - f(x1) und der Differenz (absoluten Änderung) der x-Werte x2 - x1 gebildet. Die Änderung der Funktionswerte wird also ins Verhältnis zur Änderung der x-Werte gesetzt. Der so gebildete Differenzenquotient (die Änderungsrate), gibt die Steigung des Graphen der linearen Funktion (der Gerade) an.
(B) Wie bestimmt man die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x1? Wenn der Graph einer Funktion keine Gerade ist, dann ändert sich die Steigung. Es ist deshalb interessant zu erforschen, wie man die Steigung eines beliebigen Funktionsgraphen an einer interessierenden Stelle x1 bestimmen kann.
(1) Klicke im Applet oben in der Mitte auf und setze das Applet damit zurück.
(2) Klicke im Applet oben rechts auf , so dass der Funktionsterm und der Graph der Funktion f(x) = x2 + 1 dargestellt werden.
(3) Klicke den Auswahlknopf "Zuordnung" an. Dadurch werden gestrichelte grüne Linien sichtbar, die zeigen, dass dem Wert x1 der Funktionswert f(x1) und dem Wert x2 der Funktionswert f(x2) zugeordnet ist.

(4) Klicke auf den Auswahlknopf "Absolute Änderung" sowie auf den Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)", verändere anschließend die Lage von x2 und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate. Beschreibe was dir im Vergleich zur linearen Funktion aus Aufgabenkomplex (A) auffällt und begründe, warum das so ist.

(5) Beim angezeigten Funktionsgraph handelt es sich um keine Gerade, sondern um eine gekrümmte Kurve - als Graph einer quadratischen Funktion ist es eine Parabel. Überlege dir, wie man bei einem gekrümmten Funktionsgraphen die Steigung an einer Stelle x1 ablesen könnte. Halte deine Überlegungen im Textfeld fest.

(6) Klicke den Auswahlknopf "Tangente" an. Dadurch wird die Tangente (also eine Gerade, die den Graph an der interessierenden Stelle berührt) an den Graphen der Funktion f an der Stelle x1 eingezeichnet. Betrachte die Tangente und überlege ob und wenn ja was diese mit der Steigung des Graphen von f an der Stelle x1 zu tun hat. Notiere deine Überlegungen.

(7) Um eine Gerade eindeutig festzulegen, benötigt man zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Bei der Tangente an den Graph der Funktion f an der Stelle x1 kennen wir aber nur den Berührpunkt, der die Koordinaten (x1, f(x1)) hat. Mit den beiden Punkten (x1, f(x1)) und (x2, f(x2)) auf dem Funktionsgraph, können wir dagegen eine Gerade eindeutig bestimmen, die eine Sekante (also eine Gerade, die den Graph in zwei Punkten schneidet) des Graphen ist und durch den Punkt (x1, f(x1)) verläuft. Lass die Sekante durch Klicken auf den Auswahlknopf "Sekante" anzeigen.

(8) Ziehe am Punkt x2 auf der x-Achse und beobachte, was dabei mit der Sekante im Vergleich zur Tangente durch den Punkt (x1, f(x1)) passiert. Notiere deine Beobachtungen.

(9) Schalte die Tangente durch Klicken auf den Auswahlknopf "Tangente" aus. Ziehe den Punkt x2 genau auf den Punkt x1. Beobachte genau was dabei passiert. Notiere deine Beobachtungen und gib eine Erklärung dafür an.

(10) Überlege auf der Grundlage deiner Beobachtungen aus Aufgabe (8) wie man mit Hilfe der Steigung der Sekante die Steigung der Tangente durch den Punkt (x1, f(x1)) annähern kann. Notiere deine Überlegungen.

(11) Bewege am Punkt x2 auf der x-Achse langsam in Richtung x1 und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate, also der Sekantensteigung. Führe die Annäherung von x2 an x1 sowohl von rechts als auch von links durch. Notiere deine Beobachtungen.

(12) Notiere eine Vermutung für den Zahlenwert der Steigung der Tangente durch den Punkt (x1, f(x1)).

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