Google ClassroomGoogle Classroom
GeoGebraTarefa

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny

Niech będzie prostą równoległą do wektora oraz będzie płaszczyzną prostopadłą do wektora . Wówczas wzajemne położenie prostej i płaszczyzny uzależnione jest od relacji między wektorami i . W szczególności
  • ,
  • .  
Ponadto jeśli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to jest w niej zawarta albo rozłączna z płaszczyzną. Jeśli prosta nie jest równoległa do płaszczyzny, to przecina ją się w jednym punkcie. Aby wyznaczyć część wspólną prostej i płaszczyzny należy rozwiązać układ równań składający się z wszystkich równań opisujących prostą i płaszczyznę.

Przykład 4.1

Niech

.

Wówczas prosta jest równoległa do płaszczyzny , ale nie jest w niej zawarta. Rzeczywiście. Wektor jest równoległy do prostej , zaś wektor jest prostopadły do płaszczyzny . Ponieważ , więc , co oznacza, że prosta jest równoległa do płaszczyzny . Uzasadnij, że podana prosta nie jest zawarta w płaszczyźnie.

Ćwiczenie 1.

Zastanów się jak zmodyfikować równanie prostej w powyższym aplecie tak, aby była równoległa do płaszczyzny i zawarta w niej.

Przykład 4.2

Niech

.

Wówczas prosta nie jest ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny . Rzeczywiście. Wektor jest równoległy do prostej , zaś wektor jest prostopadły do płaszczyzny . Ponieważ i , więc prosta nie jest równoległa ani prostopadła do płaszczyzny . Punkt będący punktem przecięcia prostej i płaszczyzny wyznaczamy rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych.

Ćwiczenie 2.

Zastanów się jak zmodyfikować równanie prostej w powyższym aplecie tak, aby była prostopadła do płaszczyzny . Wyznacz punkt przecięcia wskazanej prostej i płaszczyzny .