Aire d'un octogone et d'un disque

Thème :
Aire
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Source GeoGebra

Enoncé

Dans le cadre des calculs d'aire, de l'aire d'un disque cet exercice peut être utilisé soit comme introduction, soit comme prolongement. Suggestion pédagogique : 1) montrer la figure aux élèves et leur demander ce que cela leur inspire comme question mathématique. On en vient à se demander laquelle des deux aires, celle de l'octogone ou du disque est la plus grande - Sachant que les 9 carrés gris ont pour côté 2cm, comparer l'aire du disque rouge et celle de l'octogone bleu. Ou bien : 2) Déterminer une valeur approchée de Pi en utilisant cette figure. Si le théorème de Pythagore a déjà été vu, on pourra comparer les approximations obtenues avec le cacul des périmètres et celui des aires. Celui des aires donne une fraction d'entiers ce qui amène à parler de l’irrationalité de pi.

Point historique

Dans le papyrus Rhind (rédigé vers 1650 av. J.-C.) Ahmes suggère une quadrature du disque (problème 48).
Comparaison de la superficie d'un disque de diamètre 9 à celle de son carré circonscrit, dont la taille d'un côté est également de 9. Ratio de la superficie du disque au carré?
La réponse donnée est 64/81. Cela revient à dire que l'aire d'un disque de diamètre 9 est égale à celle d'un carré de côté 8. Cette approximation de la quadrature du cercle permit aux Égyptiens de se passer de la constante π en la utilisant que le rapport de l'aire du disque au carré qui le circonscrit est 64/81. On ne sait pas comment ils ont pu trouver ce rapport de 64/81 mais certains auteurs comme Petr Beckmann (A History of Pi) pensent qu'ils ont pu utiliser cette figure étudiée ici qui amène au rapport 63/81 si on prend des petits carrés de côtés 3. Or 63 est proche de 64 qui est le carré de 8. cf problèmes 41-43-48-50 du papyrus. wikipedia.org/wiki/Papyrus_Rhind