Transformacions ISOMÈTRIQUES

En aquest document es treballaran les característiques de les transformacions isomètriques i com dibuixar-les.
LA TEORÍA Les transformacions isomètriques, són aquelles transformacions en que la figura original i la seva transformada conserven la mateixa forma i les mateixes mides, és a dir, el resultat final de la transformació és una figura idèntica a la inicial. A aquestes transformacions també se les anomena moviments, i pertanyen a aquesta categoria la igualtat, la translació, la simetria i el gir. Quan fem una transformació d'un element, (punt, segment, angle o polígon), per referir-nos a l'element que està relacionat amb ell, direm que un és homòleg de l'altre. Exemple: Si transformem A en A', direm que A' és l'homòleg de A i A és homòleg de A'. Un punt doble és aquell que després d'aplicar-li una transformació, el seu homòleg és ell mateix, és a dir, si apliquem una transformació a un punt A de coordenades (2,3), el seu homòleg A' també serà (2,3)
IGUALTAT i IDENTITAT IDENTITAT: És diu que dues figures són idèntiques quan mitjançant la translació i el gir podem superposar les dues figures i són coincidents (segments, angles i vèrtex). IGUALTAT: Es diu que dues figures són iguals, però no idèntiques, quan per poder-les superposar s'ha d'aplicar una simetria axial.
TRANSLACIÓ Una translació és la transformació projectiva en la qual a cada punt del pla li correspon un altre punt determinat per una direcció i una distància. La direcció ve determinada per un vector director, a l'exemple següent el vector director és u i els extrems els defineixen els vèrtexs homòlegs A i A'.

Construcció d'un polígon mitjançant una translació:

Desplaça els punts del polígon inicial i el punt A' i observa com és la translació i utilitza els comandaments per animar la construcció, després, intenta respondre aquestes preguntes:
  • Si fem una translació d'un segment, quina és relació entre segments homòlegs?
  • Com són les rectes que uneixen punts homòlegs A i A', B i B', C i C', etc...?
  • Com són els angles homòlegs?
  • Hi ha punts dobles?
  • Com són les dues figures d'una translació? iguals o idèntiques?
La translació es diu que és un moviment directe del pla, perquè manté el sentit de les figures.
SIMETRIA CENTRAL La simetria central és una transformació, en el pla, que fa que fa correspondre a tot punt A un altre punt A', respecte un tercer punt O (centre de simetria) que és el punt mig de A i A', per tant tots tres formen part d'una mateixa recta. Si unim dos punts homòlegs, el centre de simetria es troba en el punt mig. Si tenim un punt i el centre de simetria, llavors tracem una semirecta des del punt que passi pel centre i l'allarguem, tot seguit punxem amb el compàs en el centre i l'obrim fins al punt, llavors traslladem aquesta longitud fins a la prolongació cap a l'altre costat.

Construcció d'un polígon simètric mitjançant simetria central (punt).

Utilitza els comandaments per animar la construcció. Desplaça els punts del polígon inicial i el centre de simetria O i observa com es modifica la simetria, després, intenta respondre aquestes preguntes:
  • Si fem una simetria central, quina és relació entre dos segments homòlegs?
  • Com són les rectes que uneixen punts homòlegs A i A', B i B', C i C', etc...?
  • Com són els angles homòlegs?
  • Hi ha punts dobles?
  • Com són les dues figures d'una simetria central? iguals o idèntiques?
  • Com faries la transformació si no tinguéssim el centre de simetria però si un punt A'?
La transformada d'una simetria central, és una altre figura que té els segments homòlegs amb sentit contrari. Una simetria central és el mateix que aplicar un gir de 180º.
SIMETRIA AXIAL La simetria axial, és una transformació que fa correspondre a tot punt A del pla un altre A' de manera que l'eix de simetria és la mediatriu del segment AA', de BB', CC', etc.... Les figures són simètriques respecte d'una recta que s'anomena eix de simetria. Per tant si tenim un punt i l'eix i volem trobar l'homòleg d'aquest, tracem des del punt una semirecta perpendicular a l'eix de simetria i el prolonguem cap a l'altre costat. Punxem amb el compàs sobra la intersecció amb l'eix i traslladem la distància del punt a l'eix cap a l'altre costat de l'eix i haurem trobat el punt homòleg. Si tenim dos punts homòlegs, per trobar l'eix de simetria només haurem de fer la mediatriu entre els dos punts. Qualsevol punt d'una figura que estigui sobre l'eix de simetria el seu homòleg serà ell mateix, això vol dir que tots els punts de l'eix de simetria són punts dobles (són homòlegs d'ells mateixos).

Construcció d'un polígon mitjançant una simetria axial (recta).

Intenta respondre aquestes preguntes:
  • Si fem una simetria central, quina és relació entre dos segments homòlegs? Què passaria si prolonguéssim aquests segments?
  • Com són les rectes que uneixen punts homòlegs A i A', B i B', C i C', etc...?
  • Com són els angles homòlegs?
  • Hi ha punts dobles? prova què passa si l'eix de simetria talla la figura.
  • Com són les dues figures d'una simetria axial? iguals o idèntiques?
La transformada d'una simetria central, és una altre figura que té els segments homòlegs amb sentit contrari. Una simetria central és el mateix que aplicar un gir de 180º.
GIR Un gir és una transformació isomètrica en la qual, donats un centre O (centre de gir), un sentit de gir (horari o antihorari) i un angle α (angle de fir), a cada punt P del pla li correspon un altre P' situat a l'extrem oposat d'un arc de centre O, radi OP i angle α. Una simetria central equival a un gir de 180º.
Utilitza els comandaments per animar la construcció. Desplaça els punts del polígon inicial i el centre de gir O i observa com es modifica el gir, després, intenta respondre aquestes preguntes:
  • Creus que és gaire exacte aquest mètode? mira tots els punts en la circumferència central.
  • Creus que seria factible combinar aquesta transformació amb algun dels mètodes d'identitat?