Billar circular (Problema de Alhazen simplificado)
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
- Tema:
- Homotecia
Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar circular. ¿A
que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que al rebotar una vez
golpee a B, sin pasar por el centro de la circunferencia? Se supone que sin efecto (las bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
Si las bolas no están en un mismo diámetro, Problema de Alhazen, no puede resolverse con regla y compás. Algebraicamente requiere la resolución de una ecuación de 4º grado.
Basta invertir A y B en c para obtener A' y B', y la intersección de la mediatriz del segmento A'B' con la circunferencia, si la hay, nos da el puntos de reflexión.
La justificación no es complicada, partiendo de que la inversión es una
transformación conforme (que mantiene los ángulos).
Dando el problema por resuelto, sea c la circunferencia del billar y P uno
de los dos puntos solución (el otro es el simétrico respecto al diámetro que
pasa por A y B). Considerando la inversión respcto a c, la recta rAP se
transforma en la circunferencia cA que pasa por A', O y P, y la recta BP en
la circunferencia cB que pasa por B', O y P.
La recta OP se transforma en si misma. Ambas circunferencias cA y cB pasan por O y por P y deben formar ángulos iguales en P con la cuerda común OP, porque lo forman sus inversas las rectas rAP y rBP, por lo que tienen el mismo radio.
Si las proyecciones de los centros OA y OB de estas circunferencias sobre
la recta AB son MA y MB, se tiene que MA es el punto medio de O y A', y
MB el punto medio de O y B'. Si Q es el punto medio de OP, también lo es de
OA y OB, y su proyección sobre la recta AB será N, el punto medio de MA y
MB.
Aplicando ahora una homotecia de centro O y razón 2, N se transforma en M,
proyección de P sobre la recta AB, mientras que MA y MB se transforman en
A' y B', por lo que M resulta ser el punto medio de A' y B'.
Si a y b son las coordenadas de A y B, tomando O como origen, las coordenadas de A' y B' son 1/a y -1/b, y la de M será m = (1/a - 1/b)/2. Para que el problema tenga solución, debe ser |m| < r, donde r es el radio de la circunferencia:
-2r < 1/a - 1/b < 2r
Y donde no es imprescindible que a, b < r (el perímetro de la mesa de billar
podría ser solo en parte circular).
El problema se discutió ampliamente en el grupo de noticias es.ciencia.matematicas, donde se dieron también otras soluciones.