Wie sehen Tangenten an einen Punkt an Graphen aus der Nähe aus?

Author:SINUS NRW, Reinhard Schmidt, Paul Werner

Links siehst du die globale Ansicht mit der grünen Lupe und rechtsdanaben nur noch den Ausschnitt der Vergrößerung. Du kannst den Zoom-Faktor, die Position von

und den Funktionsterm verändern. Hinweis: Wenn du den Term änderst, kann es sein, dass du

durch Verschieben der Ansicht wieder suchen musst.

Applet erkunden

Untersuche fünf verschiedene Funktionsgraphen. Beschreibe wie sich der Verlauf des Graphen im Vergleich zu Tangente bei zunehmender Vergrößerung ändert.

Hilfestellung zur Formulierung der Entdeckungen

In der kleinsten Vergrößerung... verläuft der Graph... im Vergleich zur Tangente...
Mit zunehmender Vergrößerung ändert sich dabei...
In der größten Vergrößerung... verläuft der Graph... im Vergleich zur Tangente... Weitere Vokabeln
Krümmung/ ungekrümmt/ gerade
aufeinander liegen/ abweichen
in weiten Teilen/ fast immer/ fast überall

Erkenntnisse überprüfen

Markiere die richtigen Aussagen.

Select all that apply

A
Bei der stärksten Vergrößerung scheinen die Graphen der Funktion und der Tangente im rechten Bild in weiten Teilen übereinander zu liegen.
B
Je stärker die Vergrößerung, um so stärker gekrümmt erscheint die Funktion.
C
Bei der größten Vergrößerung erscheinen auch andere Funktionen um den Punkt wie eine Gerade.

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Und beliebig stark reingezoomt...?

"Wird beliebig stark reingezoomt, verschwindet die Krümmung der Funktion unter der Strichdicke der beiden Graphen und sie erscheint linear." Beurteile die obige Aussage. Impulse zur Reflexion:

Welche Folgen hätte es für einen Vergleich einer ganzrationalen Funktion mit einer linearen Funktion, wenn die Aussage stimmt?

Welche Schwächen hätte das Modell der Funktionenlupe, wenn die Aussage nicht stimmt?

Formuliere die Aussage um, sodass sofort klar wird, dass die Umformulierung wahr oder falsch ist.

Check my answer

Wie genau ist die Methode?

Diskutiere, inwiefern eine beliebig starke Vergrößerung die Ungenauigkeit der Linearisierung beeinflusst, indem du die nachfolgenden Aussagen beurteilst. Markiere die treffenden Aussagen. Begründe deine Wahl!

Select all that apply

A
Wenn die Vergrößerung bei gegebener Strichdicke hinreichend groß wird, müssen der Graph der Funktion und der Graph der Tangente im rechten Bildausschnitt ganz übereinander liegen.
B
Wenn die Vergrößerung bei gegebener Strichdicke hinreichend groß wird, können der Graph der Funktion und der Graph der Tangente vollständig übereinander liegen.
C
Genau dann, wenn sich durch die Betrachtung mit der Lupe kein Unterschied zwischen der Funktion und der Tangente mehr nachweisen lässt, kann die Steigung der Funktion an einem Punkt an der Steigung der Tangente abgelesen werden.

Check my answer (3)

Begründe abschließend

Ist es unter bestimmten Bedingungen sinnvoll, eine ganzrationale Funktion lokal als lineare Funktion zu betrachten? Welche Bedingungen müssen deiner Meinung nach dafür erfüllt sein?