Flugzeugkollision | Didaktische Hinweise

Auteur :SINUS NRW, Reinhard Schmidt

Im Luftraum sind Begegnungen unerwünscht.

Kurzinformationen

Qualifikationsphase (Q2)
Analytische Geometrie / Lineare Algebra
Abstand von Flugzeugen
Ziel: Verständnisorientierter Einstieg in die Vektorgeometrie
Dauer: 3 Stunden
SchülerInnenmaterial: https://www.geogebra.org/m/rqxpxdn7
Spezielle Materialien: ggf. Pappmodel

Vorwissen und Voraussetzungen

Die SchülerInnen können...

(nach Möglichkeit) in der Tabellenansicht von GeoGebra arbeiten (insb. Eingabe von Formeln mit relativen Bezügen und Kopieren von Zellen durch "Ziehen"),
(nach Möglichkeit) mit CAS-Befehlen (Eingabe und Lösen von Gleichungen) in GeoGebra arbeiten,
lineare Gleichugnssysteme (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten) lösen,
den Abstand zweier Punkte im IR³ (mit Pythagoras) berechnen.

Erwartete Kenntnisse der Lehrperson:

Bedienung der Tabellen- und CAS-Ansicht von Geogebra

Beiträge zum Kompetenzerwerb

Die Schülerinnen und Schüler ...

wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum,
deuten Vektoren im gegebenen Sachkontext als Geschwindigkeit
berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mithilfe des Satzes des Pythagoras:
- den Abstand von beweglichen Punkten auf geraden Flugbahnen beschreiben
- addieren Vektoren und multiplizieren Vektoren mit einem Skalar,
stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar,
interpretieren Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext,
untersuchen Lagebeziehungen von Geraden:
- den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen,
- den Abstand windschiefer Geraden ermitteln,
untersuchen geometrische Situationen im Raum mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge,
nutzen Eigenschaften von Vektoren und Parametergleichungen von Geraden beim Lösen von innermathematischen und anwendungsbezogenen Problemstellungen.

(MSB NRW, 2023, S. 23, Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G))

Didaktische Hinweise

Diese Lerneinheit bietet die Möglichkeit, ohne größere Vorkenntnisse in die vektorielle Geometrie einzusteigen. Es ist nicht notwendig, dass die Parameterform der Geraden zuvor im Unterricht eingeführt worden ist. Im Grunde genommen muss nicht einmal der Vektorbegriff bekannt sein. Der gegebene Kontext ist geeignet, um Vektoren, Addition von Vektoren, skalare Multiplikation von Vektoren und die Parameterform von Geraden einzuführen. Ebenso ist es aber auch möglich, die Materialien als Anwendung zu verwenden, nachdem die ebnen genannten Begriffe im Unterricht eingeführt worden sind - die Aufgaben bleiben aber auch dann reizvoll und herausfordernd. In jedem Fall kann die Anschaulichkeit das Verständnis fördern.

[i]Einordnung der Lernumgebung "Wie viel passt hinein? Große Schachteln und mehr" entsprechend der in [url=https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft]https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft[/url] vorgestellten didaktischen Spannungsfelder.[/i] — *Einordnung der Lernumgebung "Wie viel passt hinein? Große Schachteln und mehr" entsprechend der in https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft vorgestellten didaktischen Spannungsfelder.*

Aktivität 1 (20 min): Das Unglück vom Bodensee

Das Unglück vom Bodensee - https://www.geogebra.org/m/b9t8savy In dieser Aktivität wird in die Problemstellung eingeführt und das Flugzeugunglück vom 01.07.2002 beschrieben. Ausgehend von zwei Positionsangaben eines Flugzeugs (= Koordinaten) ermitteln die Lernenden mit Hilfe der Tabellenansicht weitere Punkte der durch die Positionsangaben festgelegten Geraden. Die Lernenden ermitteln die Werte, indem sie relative Zellbezüge in die Tabellenkalkulation eingeben. Am einfachsten gelingt dies über die Eingabezeile. Der erste Eintrag ("C5 = C4 + (C4 - C3)") ist vorgegeben; damit lassen sich alle weiteren durch "Ziehen" erzeugen (Kopieren relative Zellbezüge). Im Unterricht sollte thematisiert werden, warum das funktioniert.

Aktivität 2 (20 min): Der Abstand wird kleiner

Der Abstand wird kleiner - https://www.geogebra.org/m/qcwk5z2y In der zweiten Aktivität wird der Abstand der Flugzeuge untersucht. Dies ist auf mehreren Wegen möglich - numerisch, über eine interaktive GeoGebra-Konstruktion, algebraisch oder auf anderen, wenniger naheliegenden Wegen (z.B. trigonometrisch). Wie in Aktivität 1 benötigen die Lernenden ein gewisses Maß an Bedienkompetenz mit der Tabellenansicht.

Aktivität 3 (20 min): Der geringste Abstand

Der geringste Abstand - https://www.geogebra.org/m/p288jzdr Die Lehrkraft entscheidet, ob an dieser Stelle ein exaktes Ergebnis gewünscht wird. Ein verhältnismäßig einfacher Weg zu einer exakten Lösung führt über den Abstand von zwei Geradenpunkten zum Zeitpunkt

. Wenn das Minimum mit den Mitteln der Analysis ermittelt wird, kann man selbstverständlich statt des Wurzelterms auch nur den Radikanden betrachten und den Rechenaufwand dadurch deutlich vereinfachen.

Aktivität 4 (20 min oder 5 min): Übung: Ermittle Ebenengleichungen

Flugzeuge und Geradengleichungen - https://www.geogebra.org/m/fb4kxcbr In dieser Aktivität kann, sofern dies im Unterricht zuvor nicht geschehen ist, die Parameterform der Geradengleichung eingeführt werden. In diesem Fall werden die Impulse aus der Aktivität (z.B. im Unterrichtsgespräch) vertieft. Sollte die Parameterform der Geradengleichung bereits bekannt sein, stellt diese Aktivität eine einfache Übung dar. Die Aktivität bereitet die Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden vor, die in der nächsten Aktivität im Fokus steht.

Aktivität 5 (15 min): Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt zweier Geraden - https://www.geogebra.org/m/jduaxdhq Im Kontext des Buches wird der Schnittpunkt zweier Geraden berechenet. Entscheidend ist der Unterschied zwischen den Flugzeugen (die in den Aktivitäten 1-3 betrachtet wurden) und ihren Flugbahnen: Die Lernenden müssen nun zwischen der geometrischen Spur (der Flugbahn) und dem zeitlichen Aspekt (Kollision) unterscheiden. Ein Schnittpunkt der Bahnen bedeutet nicht zwangsläufig einen Zusammenstoß, solange die Flugzeuge diesen Punkt zu unterschiedlichen Zeiten

und

passieren. Der vorgeschlagene Lösungsweg soll die Komplexität reduzieren: Durch das Gleichsetzen der

- und

-Komponenten wird das Problem zunächst auf die zweidimensionale Ebene (die Radarkarte des Lotsen) projiziert. Erst die Prüfung der

-Komponente (Höhe) führt zurück in den dreidimensionalen Raum. I.

II.

Aus I folgt

, durch Einsatzen in II ergibt sich

und

. Für diese Werte ergibt sich in beiden Gleichungen in der

-Kompeonente der Wert 11 - die Flugbahnen schneiden sich also.

Aktivität 6 (15 min): Abstand zweier windschiefer Geraden - experimentell

Abstand zweier windschiefer Geraden - experimentell - https://www.geogebra.org/m/spp6nbse Das experimentelle Bestimmen des Abstands windschiefer Geraden verfolgt zwei wesentliche Lernziele:

Visuelle Intuition vor Formalismus: Bevor die Lernenden mit dem aufwendigen Lotfußpunktverfahren oder der Formel mit dem Kreuzprodukt konfrontiert werden, entwickeln sie durch das Applet ein Gefühl für die räumliche Lage. Sie erkennen, dass "windschief" bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt, aber dennoch eine Stelle existiert, an der sie sich am nächsten kommen.
Entdeckung der Orthogonalität: Die Beobachtung, dass der minimale Abstand genau dann erreicht ist, wenn die Verbindungsstrecke senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht, ist die theoretische Grundlage für alle späteren Berechnungsverfahren. Diese Entdeckung macht später zu betrachtende mathematische Bedingung "Skalarprodukt = 0" plausibel.

Lösung der Aufgabe: Der minimale Abstand beträgt

Längeneinheiten.

Aktivität 7 (45 min): Abstand zweier windschiefer Geraden

Abstand zweier windschiefer Geraden - https://www.geogebra.org/m/ku3tgpvh Das Arbeiten von einem leeren Blatt aus stellt für die Lernenden eine besondere Herausforderung an die Werkzeugkompetenz dar. Sie müssen den Transfer von der theoretischen Problemstellung („Wie weit sind diese Geraden voneinander entfernt?“) zur technischen Umsetzung leisten, ohne dass die Struktur der Software den Lösungsweg vorgibt.

Problemlösefähigkeit: Die Lernenden müssen die Geometrie selbst konstruieren, Punkte korrekt eingeben und Befehle eigenständig recherchieren oder ableiten.
Fehlerkultur: Das leere Blatt erlaubt es, falsche Wege (z. B. das einfache Verbinden zweier beliebiger Punkte) zu gehen und durch die 3D-Ansicht selbst zu korrigieren.

Mögliche Lösungswege sind: Die Lernenden geben zunächst die 4 Punkte ein und erzeugen dann die Geraden g = Gerade(P, Q) und h = Gerade(R, S). Dann gibt es 3 naheliegende Wege:

Der "GeoGebra-Shortcut": d = Abstand(g, h)]
Konstruktion über eine Hilfsebene
Die Lotfußpunkt-Methode wie im vorangegangenen Applet (Aktivität 6)

Der gesuchte Abstand beträgt in jedem Fall ca. 2,39 LE.

Methodische Hinweise

Idealerweise wechseln sich GeoGebra-Aktivitäten und Unterricht ohne das Werkzeug GeoGebra ab. Die ganze Aktivität ist nicht als reiner Selbstlernpfad angelegt. Um die GeoGebra-Aktivitäten im Klassen-Setting einzusetzen, bietet es sich an, sie als GeoGebra-Classroom-Aktivität (https://www.geogebra.org/m/vexj65n9) zu realisieren.

Links zu Materialien und Quellen

Maaß, Katja (2003): Sicher durch die Lüfte - Geraden und Ebenen, die sich nicht schneiden dürfen. In: Henn, Hans-Wolfgang, Maaß, Katja (Hrsg.): Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe. Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht (Band 8), S. 178-202. Hildesheim - Verlag Franzbecker.
Langer, Rolf (2004): Einführung in die Analytische Geometrie am Beispiel Flugsicherheit. Verfügbar unter https://www.schulentwicklung.nrw.de/materialdatenbank/material/view/155 (Zugriff vom 18.08.2022)