H 03 Négy egyenes transzverzálisai
- Szerző:
- Szilassi Lajos
Ez az anyag lényegében egyetlen térgeometriai feladatról szól. Maga a feladat és megoldása is több kevéssé közismert fogalom és geometriai objektum ismeretét, előzetes bemutatását igényelné. Terveink szerint erre alkalomadtán sort is kerítünk, most azonban csak utalunk rá, néhány külső link formájában. Reméljük, hogy ez nem sokat ront sem az érthetőségen, sem a látnivalók élményén.
A feladat
Legyen adott négy, páronként kitérő egyenes két-két pontjával :a, b, c és d !
Szerkesszük meg a négy egyenes közös transzverzálisait: azokat az egyeneseket, amelyek a négy adott egyenest metszik! Az így kapott egyenesek legyenek p és q !
Tekintsük megoldottnak a feladatot!
Megszokott dolog, hogy egy-egy matematika probléma megoldása így kezdődik. A GeoGebra alkalmazásában kicsit is jártas olvasóink bizonyára erősen sejtik, hogy ha az alábbi appletben bemutatott egyeneseket ezek az egyenletek pontosan írják le, akkor ez csak úgy jöhetett létre, hogy a készítője felcserélte az adott és kapott szavakat, és két adott - kitérő - egyeneshez keresett négy olyat, amely ezeket különböző pontokban metszik. Ezt a galádságot legfeljebb az enyhíti, hogy ezt most be is valljuk.
Ugyanis a feladat jellegéből sejthető volt, hogy komoly matematikai háttérismeretek felhasználására, és sok számolást igénylő eljárása lesz majd szükségünk, így nem árt, ha legalább egy esetben tudjuk előre, mit kell majd kapnunk. Másrészt jó ha mielőbb "képbe" kerülnek olvasóink.
A két "keresett" egyenes láthatóságát a felettük lévő szövegre kattintva kapcsolhatjuk ki-be.
A probléma szemléltetését segítheti, hogy rendre egy-egy egyenes egyenletére kattintva a konstrukció (merőleges axonometrikus) vetítési iránya az az egyenes lesz, amelyet offline üzemmódban a 
ikonnal választhatnánk ki.
Azzal is segítjük a szemléletességet, hogy a konstrukció egyeneseit egy-egy változtatható sugarú hengerrel helyettesíthetjük. Ezeket a lehetőségeket később is fogjuk használni.
ikonnal választhatnánk ki.
Azzal is segítjük a szemléletességet, hogy a konstrukció egyeneseit egy-egy változtatható sugarú hengerrel helyettesíthetjük. Ezeket a lehetőségeket később is fogjuk használni. A probléma elvi megoldása
Azok számára akik valaha tanultak (netán tanítottak) ábrázoló geometriát, feltehetően ismert az alábbi feladat:
Legyen adott egy körkúp az alapkörével és csúcsával. Szerkesszük meg a kúpfelület és egy adott egyenes metszéspontjait!
A probléma megoldására ez a fogás használható:
ikonnal is aktivizálható) megadható a k kúpszelet anélkül, hogy magát a ϕ felületet ismernénk.
Az így kapott k kúpszeletnek a d egyenessel - szerencsés esetben - két metszéspontja van, amelyekre illesztett pl. a-t metsző egyes illeszkedik ϕ-re, így metszi b- t és c-t is. Ezzel megkaptuk az a, b, c, d egyeneseket metsző transzverzálisokat.
- Vegyük fel az adott egyenesre és a kúp csúcsára illeszkedő síkot!
- Szerkesszük meg ennek az alapkör síkjával alkotott metszésvonalát, majd ennek az alapkörrel alkotott metszéspontjait!
- E metszéspontokra illeszkedő alkotók a keresett pontokban fogják metszeni az adott egyenest.
ikonnal is aktivizálható) megadható a k kúpszelet anélkül, hogy magát a ϕ felületet ismernénk.
Az így kapott k kúpszeletnek a d egyenessel - szerencsés esetben - két metszéspontja van, amelyekre illesztett pl. a-t metsző egyes illeszkedik ϕ-re, így metszi b- t és c-t is. Ezzel megkaptuk az a, b, c, d egyeneseket metsző transzverzálisokat.
Gyakorlati kivitelezés
Az alábbi appletben először bemutatjuk a kész konstrukciót, az adott és kapott egyeneseket a már látott módon egy-egy változtatható sugarú hengerrel kiemelve. Ha a hengerek sugara 0, akkor válik lehetővé az egyenesek megadása, változtatása.
- Adatok megadása A négy, páronként kitérő egyenest két-két - mozgatható, vagy beviteli mezőkben megadható - pontjával adjuk meg. Ezen túlmenően az 1. 2. ...12. gombbal megadunk a feladat szempontjából kedvező (vagy éppen kedvezőtlen) kész adatokat is. Ezek is változtathatók. (Azt nem vizsgájuk, hogy a megadott egyenesek között vannak-e párhuzamosak, vagy metszők. Ezek az esetek ugyanis elemi úton is kezelhetők.)
- Segédegyenesek a ϕ felületen Felvettünk a felületen két olyan (e és f ) egyenest, amely metszi a-t, b-t és c-t. Legyen például e=Egyenes(A_1,Metszéspont(Sík(A_1, c),b), vagyis az A1 pontra (a egyik tartópontjára) illeszkedő egyenes, amely illeszkedik az (A1,c) síknak a b-vel alkotott metszéspontjára is. Így e egyaránt metszi a-t b-t és c-t is, vagyis illeszkedik ϕ -re. Ugyanígy legyen f=Egyenes(A_2,Metszéspont(Sík(A_2, c),b).
- A d-re illeszkedő ϕ-t metsző sík Felvettük a d egyenesre illeszkedő s=Sík(d,M) síkot, ahol M a tér egy olyan pontja, amely biztosan nem illeszkedik d -re. (Ezt jelen esetben úgy értük el, hogy M pontja egy olyan körvonalnak, amelynek a tengelye d.) (Ha a hengerek sugara 0, akkor válik láthatóvá s és ϕ∩s, állíthatóvá a D_1 és D_2 pontokkal a d egyenes, és mozgathatóvá az M pont.)
- d és ϕ metszéspontjai Legyen rendre az a, b, c, e ,f egyeneseknek az s síkkal alkotott metszéspontja A, B, C, E és F, legyen k=Kúpszelet(A, B, C, E, F), végül P és Q a d egyenes és a k kúpszelet két metszéspontja - amennyiben létezik. Az M pont megválasztásától függően más-más d -re illesztett síkot, így más-más k kúpszeletet kapunk, azonban ezek mindegyike ugyanabban a P és Q pontban metszi k -t.
- Legyen p=Egyenes(P,Metszéspont(Sík(P, c),b), így biztosak lehetünk abban, hogy a B_p=Metszéspont(b,p) és a C_p=Metszéspont(c,p) metszéspontok léteznek, de létezik az A_p=Metszéspont(a,c) pont is, mivel a p egyenes minden pontja illeszkedik a ϕ felületre, hiszen ha egy egyenes három pontja illeszkedik egy másodrendű felületre, akkor maga az egyenes is illeszkedik rá. Ugyanez teljesül a q=Egyenes(Q,Metszéspont(Sík(Q, c),b) egyenesre is. Tehát p és q valóban a négy adott egyenes közös transzverzálisa.
Néhány megjegyzés
A fenti appletben a kapott transzverzális egyenesek egyenletei a legtöbb esetben kerekített számok. Az alkalmazott műveletek pontosságát a transzvezálisokon lévő 4-4 metszéspont létrejötte jelzi.
A szerkesztés 3. lépésénél az M pont mozgatásával meggyőződhetünk arról, hogy az s sík megválasztásától valóban nem függ a kapott P és Q pont. Ettől még nem tudunk többet az a, b, c egyenesekre illeszkedő másodrendű felületről. Bár a feladat megoldásához nincs rá szükség, de - ha már adott a lehetősége - megrajzolhatjuk elég sok (az alsó csúszkával szabályozható számú) síkmetszetét, amely a ϕ felület alakjának a megsejtéséhez nyújt némi segítséget.
Ebben az appletben is megmaradt a lehetőségünk arra, hogy a konstrukciót valamelyik (adott, vagy kapott) egyenes irányából szemléljük meg, a kiválasztott egyenes nevére kattintva.
Fontos még megjegyezni, hogy a feladat bemenő adata négy egyenrangú egyenes. A megoldáshoz vezető kulcslépés az volt, hogy kiválasztottunk közülük hármat (a, b, c), amelyek meghatároznak egy másodrendű felületet, és ennek a negyedik egyenessel (d) alkotott metszéspontjait kerestük meg. Természetesen ugyanezt az eredményt ( 0,1 vagy 2 egyenes rajzát és egyenletét kapnánk akkor is, ha bármely két egyenes adatait felcserélnénk. Erre a beállított fix esetek megvizsgálásával, összehasonlításával nyílik is lehetőségünk.
Mit "kell" látnunk a fix eseteket kiválasztva?
A részletek iránt érdeklődő olvasóinknak javasoljuk, hogy töltsék le az appletet, és rendre vizsgálják meg e gombok scriptjeit, amelyekkel ezeket a fix adatokat beállítottuk. A beállított esetek többnyire kevés adatban térnek el egymástól, de más-más végeredményt állítanak elő.
- 1. és 2. Pontosan ugyanazokat az egyeneseket adtuk meg, csak más sorrendben: felcseréltük a b és d egyenesek adatait. Ezt nem csak a színeik felcserélődéséből vehetjük észre. A ϕ felület több-kevesebb síkmetszetét megadva észrevehető, hogy más-más egyköpenyű hiperboloid felületet határoznak meg az a, b, c valamint az a, b(=d) ,c egyenesek.
- 1. és 3. A d egyenest megváltoztatva értük el, hogy a négy egyenesnek ne legyen közös transzverzálisa.
- 3.és 4. A d egyenest most úgy választottuk ki, hogy érintse a ϕ felület. Ehhez azt "trükköt" kellet alkalmaznunk, hogy előbb megadtuk a 3. esetnek megfelelő alakzatot, majd az így kapott s síkmetszet síkjában felvettük a D_1 -re illeszkedő ϕ t érintő egyenest, majd D_2 -t a keresett érintési pontra cseréltük: D_2=Pont(Érintő(k,D_1)) Ezzel lényegében két egybeeső megoldást kaptunk, mint ahogy pl. kettős gyöknek neveztük egy másodfokú egyenlet két egybeeső megoldását.
- 3. , 5. és 6. Egy egyköpenyű hiperboloid a tér rá nem illeszkedő pontjait két részre osztja (ugyanúgy, mint egy sík). Az 5. esetben d-t úgy választottuk meg, hogy a 3. esettel ellentétes térrészbe essen, és ugyancsak ne messe ϕ-t. Ebből ugyanazzal a trükkel állítottuk elő a 6. érintő esetet.
- 7. és 8.
- A 7. esetben úgy adtuk meg az a, b, c egyeneseket, hogy legyenek párhuzamosak a koordinátarendszer (x,z) síkjával. (A bázispontjaik y koordinátái rendre megegyeznek.) Ebben az esetben az általuk meghatározott ϕ felület hiperbolikus paraboloid , amelyet egy általános helyzetű d egyenes két pontban metsz, így a feladatnak két megoldása van. Ettől abban különbözik a 8. eset, hogy felcseréltük az a és d egyeneseket. Így a ϕ -t meghatározó három egyenes egymáshoz képest általános helyzetű, tehát egyköpenyű hiperboloidot határoz meg. A két eset végeredménye ugyanaz a konstrukció.
- 7., 9. és 10. A 7.- esetben kapott hiperbolikus paraboloidot változatlanul hagyva a 9. esetben olyan d egyenest választottunk, amely nem metszi a ϕ(a,b,c) nyeregfelületet, így nem kapunk megoldást. Ebből állítottuk elő a 10. esetet, ahol a p és a q transzverzálisok ugyancsak egybeesnek.
- 11..és 12. A 11. esetben úgy választottuk meg d -t is, hogy most már mind a négy adott egyenes legyen párhuzamos az (yz) síkkal. Ekkor d-nek egy közös pontja van ϕ -vel, mint ahogy egy parabolának és a tengelyével párhuzamos egyenesnek egy (és csak egy) metszéspontja van. A 12. esetet ebből úgy kaptuk, hogy a-t és d-t ismét felcseréltük.Amint várható volt, itt is ugyanazt a konstrukciót kaptuk, csak az ezt előállító ϕ felület változott.
P.s.:
Ennek a GeoGebra anyagnak a szerzője - naívan - úgy vélte, hogy a fenti jókívánsággal befejezettnek tekintethető ez a téma. Még annak a hiányérzetnek a tudatában is, hogy nem tudta felrajzolni azt a másodrendű felületet, amelyet az a, b, c egyenesek állítanak elő.
Komoly lineáris algebrai ismeretek felidézésével, valamint a GeoGebra lehetőségeinek alaposabb mozgósításával meglepően rövid programmal - megadva az egyenletét - megrajzolható a keresett másodrendű felület és a fentieknél lényegesen egyszerűbben megoldható a kitűzött feladat. Ezeket felhasználva sikerült kiegészíteni a fenti appletet.
Ezúttal mondunk köszönetet Tarcsay Tamásnak a téma fejlődésének folyamatos nyomon követéséért, segítéséért, és Pék Johannának a fenti témában nyújtott hathatós közreműködéséért.
Reméljük, olvasóinkat nem csak a bemutatott végeredmény, hanem az ide vezető út is érdekelné. Terveink szerint érdeklődő olvasóiknak be fogjuk mutatni az itt látható megoldások matematikai hátterét és technikai részleteit is.