M3.V.14 A2 L Ebenengleichungen
Leitfrage zu Phase 14
Lassen sich Ebenen mit Vektoren beschreiben?
Parameterform der Ebenengleichung
Zunächst werden in Analogie zu Geraden Ebenen auch als Punktmengen aufgefasst. Im digitalen Arbeitsblatt
M3.V.14a A2 AB Ebenen im Raum
wird mit Rückgriff auf die Geradengleichung die Parametergleichung erneut über die Idee erarbeitet, dass jeder Punkt der Ebene ausgehend von einem festen Punkt in der Ebene durch Addition eines Vielfachen von zwei linear unabhängigen Vektoren (Parameter λ und μ), die in der Ebene liegen, erreicht werden kann.
Die Zusammenhänge sollten auch gegenständlich erarbeitet werden – dabei führt die Erkenntnis, dass sich eine Ebene auf drei nicht kollinearen Punkten , und der Ebene stabil tragen lässt, zu einem festen Bezugspunkt und den beiden Vektorpfeilen und der Parameterform.
M3.V.14a A2 AB Ebenen im Raum
wird mit Rückgriff auf die Geradengleichung die Parametergleichung erneut über die Idee erarbeitet, dass jeder Punkt der Ebene ausgehend von einem festen Punkt in der Ebene durch Addition eines Vielfachen von zwei linear unabhängigen Vektoren (Parameter λ und μ), die in der Ebene liegen, erreicht werden kann.
Die Zusammenhänge sollten auch gegenständlich erarbeitet werden – dabei führt die Erkenntnis, dass sich eine Ebene auf drei nicht kollinearen Punkten , und der Ebene stabil tragen lässt, zu einem festen Bezugspunkt und den beiden Vektorpfeilen und der Parameterform.
Koordinatenform der Ebenengleichung
Bereits in *M3.II.6 AB LGS geometrisch deuten haben die SuS eine Ebenengleichung in Koordinatenform genutzt und durch GeoGebra visualisiert. Daran wird nun angeknüpft.
Die Unbekannten der Gleichung können als Komponenten von Vektoren , die die Gleichung erfüllen, interpretiert und die Vektoren als Punkte im Koordinatensystem gedeutet werden.
Dass die Lösungsmenge dieser Gleichung, also alle Punkte, die die Gleichung erfüllen, in einer Ebene liegen, wird im digitalen Arbeitsblatt
M3.V.14b A2 AB weitere Ebenengleichungen
erarbeitet. Mithilfe von Spurpunkten wird dazu die Ebenengleichung von der Koordinatenform in die Parameterform umgewandelt.
M3.V.14b A2 AB weitere Ebenengleichungen
erarbeitet. Mithilfe von Spurpunkten wird dazu die Ebenengleichung von der Koordinatenform in die Parameterform umgewandelt.
Normalform der Ebenengleichung
Mit Rückgriff auf die geometrische Deutung des Skalarprodukts (Orthogonalität) kann erarbeitet werden, wie sich mit nur einem Vektorpfeil und einem Punkt eine Ebene festlegen lässt.
Dazu sollten zunächst gegenständlich erkundet werden, dass ein Stab, der senkrecht auf einer Platte steht, die Lage der Platte definiert (bis auf Verschiebung des Stabs im Raum). Der Stab wird als Normalenvektorpfeil definiert.
Analog zur Parameterform wird nun ein Stützpunkt in der Ebene vorgegeben. Der Vektorpfeil zwischen und einem beliebigen anderen Punkt der Ebene steht dann auch senkrecht zu und das Skalarprodukt der beiden ist Null .
Das ist die Normalenform der Ebenengleichung .
Im Leistungskurs bietet sich hier (falls noch nicht vorher geschehen) die Einführung des Vektorprodukts an.
Das digitale Schulbuch o-mathe bietet im Kapitel Normalendarstellung von Ebenen und Geraden einen stärker strukturierenden Zugang zur Normalenform, der allerdings auf Ortsvektoren sowie der ausschließlichen Pfeildeutung von Vektoren fußt und deshalb angepasst werden sollte.
Zeitbedarf
2h + 1h Übung
Übung
Lambacher Schweizer 2012, S. 72-82
Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 80-85, S. 92-96, S. 96-99
Anm.: Die Schulbücher o-mathe, Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.