La aguja de Buffon. Estimando el número pi
Conseguir dar una estimación precisa del número π es un problema que ya inquietaba a los matemáticos desde tiempos de Pitágoras.
A lo largo del tiempo, se han propuesto diferentes métodos para ir calculando sus infinitos decimales.
Uno de ellos se basa en la probabilidad geométrica, y podríamos reproducirlo con material manipulativo.
Aquí haremos una simulación usando números aleatorios.
Se trata de lanzar agujas sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas a distancia igual a la longitud de la aguja.
La clave es que, se puede demostrar que la probabilidad de que alguna de las agujas caiga en una línea es 2/π. Por eso, si hacemos N lanzamientos, deberíamos esperar que toquemos las rectas unas A=2N/π veces.
Despejando, podemos estimar el número π como π≈2N/A
- Este problema "La aguja de Buffon" fue planteado por el naturalista francés Buffon en 1733 y resuelto en 1777.
- Se puede modificar el problema adaptando el cálculo si la longitud L de la aguja es menor que la distancia D entre las rectas. En este caso, la probabilidad será menor, pero podríamos estimar .
- El caso en que la longitud es mayor no es tan sencillo.
Instrucciones
La intersección de las agujas con las rectas se marcan con un pequeño punto azul.
En la zona de la derecha indicaremos cuántas agujas hay, y cuántas intersecciones hay con las rectas (ojo, que cada aguja solo puede cortar una recta).
- Modifica el tamaño de la aguja moviendo el deslizador "Tamaño" (arriba a la derecha).
- Pulsando el botón "Añade agujas" podemos elegir cuántas agujas más queremos añadir a nuestra tirada.
- Pulsando en "Volver a lanzar", recogeremos las agujas y volveremos a tirar esa misma cantidad.
- Con "Quitar agujas" retiramos todas las agujas, para volver a empezar las simulaciones.
Reflexiona
Nuestro turno
Llegó el momento de hacer nuestra propia simulación.
Para ello, bastará con tener una aguja y dibujar en un papel esas rectas paralelas, separadas tanto como la longitud de la aguja.
Ahora, se trata de lanzar la aguja una y otra vez, e ir anotando cuántas veces ocurre que toca las líneas.
Después, podremos dar la aproximación π≈2N/A.
Individual
Vamos a hacer, por ejemplo, 20 lanzamientos. Visto lo que ha ocurrido en el applet, ¿cómo de buena esperas que sea la aproximación?
En grupo
Ahora, juntaremos los resultados de toda la clase para hacer el cálculo. ¿Sería esperable que mejorase?