M2.I.1 L Bestand aus Änderungsraten rekonstruieren
Leitfrage zu Phase 1
Wie bestimmt man aus der Zuflussrate (Änderungsrate) die Wassermenge (Bestand) bei abschnittsweise konstanten Änderungsraten?Grundvorstellung
Mit dem Verständnisanker Badewanne wird in einem alltagsnahen Kontext Integrieren als Rekonstruieren eines Bestands anhand einer Änderungsrate eingeführt und knüpft damit direkt an das Ableiten als Bestimmen der Änderungsrate eines Bestands an.
Zwei Kontexte zur Wahl die auf den Anker Badewanne führen:
Als Kontext für den Verständnisanker Badewanne können Sie aus den beiden folgenden Vorschlägen wählen:
K1) Loriot-Sketch "Herren im Bad"
Der Sketch (Video z.B. auf Youtube) liefert eine merkwürdige Hintergrundgeschichte. Es ist dabei ausreichend die ersten Minuten des Sketches anzusehen. Im Sketch sitzen die Herrn Meier-Lügenscheid und Dr. Löbner gemeinsam in einer Badewanne und streiten u.a. über die Wassermenge, so dass zunächst Wasser eingelassen und dann wieder abgelassen wird.
Sie benötigen für diesen Kontext K1 das digitale Arbeitsblatt
M2.I.1a AB Badewannenstreit K1.
K2) Stausee bei Dürre
Als Ausgangspunkt dient ein Video zu einem Stausee im spanischen Inland, dessen Wasserstand in einer Dürreperiode dramatisch abgesunken ist (die überflutete Kirche ist dadurch zum Vorschein gekommen), so dass die Trinkwasserversorgung in Barcelona gefährdet ist.
Beim Besuch eines Stausees veranschaulicht ein Mitarbeiter des zuständigen Wasserwerks Schülerinnen und Schülern die grundlegende Funktionsweise des Stausees anhand einer Wasserwanne.
Sie benötigen für diesen Kontext K2 das digitale Arbeitsblatt
M2.I.1a AB Stauseemodell K2.
M2.I.1a AB Badewannenstreit K1.
K2) Stausee bei Dürre
Als Ausgangspunkt dient ein Video zu einem Stausee im spanischen Inland, dessen Wasserstand in einer Dürreperiode dramatisch abgesunken ist (die überflutete Kirche ist dadurch zum Vorschein gekommen), so dass die Trinkwasserversorgung in Barcelona gefährdet ist.
Beim Besuch eines Stausees veranschaulicht ein Mitarbeiter des zuständigen Wasserwerks Schülerinnen und Schülern die grundlegende Funktionsweise des Stausees anhand einer Wasserwanne.
Sie benötigen für diesen Kontext K2 das digitale Arbeitsblatt
M2.I.1a AB Stauseemodell K2. Rekonstruktion auf Papier mit Unterstützung eines Applets
Die SuS zeichnen in der Arbeitsblatt-Ergänzung
M2.I.1a ABE Badewannenstreit K1 (Word) (PDF) (für Kontext K1) bzw.
M2.I.1a ABE Stauseemodell K2 (Word) (PDF) (für Kontext K2)
zunächst den Verlauf der Änderungsfunktion (Zuflussrate) per Hand. Auf Basis dieser Darstellung rekonstruieren sie die Wassermenge (Bestand) ebenfalls per Hand.
Zur Kontrolle und Hilfestellung bei den Aufgaben können die Schülerinnen und Schüler für beide Kontexte K1 und K2 das in beiden Arbeitsblättern enthaltene Applet M2.I.1a App Wanne nutzen.
Lösungshinweise zu den Arbeitsblatt-Ergänzungen findet man passwortgeschützt unter folgenden Links:
Lösungshinweise zu M2.I.1a ABE Badewannenstreit K1 (PDF)
Lösungshinweise zu M2.I.1a ABE Stauseemodell K2 (PDF)
Hinweis: Lehrkräfte können das Passwort für die Lösungshinweise unter nuw-mategnu[at]rptu.de erfragt.
Hinweise zur Differenzierung im Unterricht
Die formale Schreibweise für abschnittsweise definierte Funktionen steht nicht im Fokus. Sie kann im Unterrichtsgespräch durch die Lehrkraft kurz erläutert werden.
Eine mögliche Lernhürde, vor allem für schwächere Lernende, kann die Angabe der zweiten Funktionsvorschriften in Aufgabe 2.b sein.
Vereinfachend kann hier die für das Verständnis zentrale Steigung von -5 fokussiert werden.
In einem sich an die Bearbeitung anschließenden Unterrichtsgespräch empfiehlt es sich die Metaebene einzunehmen und folgenden Zusammenhang, der in Aufgabe 4 angestoßen wird, herauszuarbeiten: "Wir haben aus der Änderungsrate Z(t) die Bestandsfunktion V(t) wiederhergestellt. Diesen Prozess nennt man Integrieren." [wiederherstellen = integrare (lat.)]
M2.I.1a ABE Badewannenstreit K1 (Word) (PDF) (für Kontext K1) bzw.
M2.I.1a ABE Stauseemodell K2 (Word) (PDF) (für Kontext K2)
zunächst den Verlauf der Änderungsfunktion (Zuflussrate) per Hand. Auf Basis dieser Darstellung rekonstruieren sie die Wassermenge (Bestand) ebenfalls per Hand.
Zur Kontrolle und Hilfestellung bei den Aufgaben können die Schülerinnen und Schüler für beide Kontexte K1 und K2 das in beiden Arbeitsblättern enthaltene Applet M2.I.1a App Wanne nutzen.
Lösungshinweise zu den Arbeitsblatt-Ergänzungen findet man passwortgeschützt unter folgenden Links:
Lösungshinweise zu M2.I.1a ABE Badewannenstreit K1 (PDF)
Lösungshinweise zu M2.I.1a ABE Stauseemodell K2 (PDF)
Hinweis: Lehrkräfte können das Passwort für die Lösungshinweise unter nuw-mategnu[at]rptu.de erfragt.
Hinweise zur Differenzierung im Unterricht
Die formale Schreibweise für abschnittsweise definierte Funktionen steht nicht im Fokus. Sie kann im Unterrichtsgespräch durch die Lehrkraft kurz erläutert werden.
Eine mögliche Lernhürde, vor allem für schwächere Lernende, kann die Angabe der zweiten Funktionsvorschriften in Aufgabe 2.b sein.
Vereinfachend kann hier die für das Verständnis zentrale Steigung von -5 fokussiert werden.
In einem sich an die Bearbeitung anschließenden Unterrichtsgespräch empfiehlt es sich die Metaebene einzunehmen und folgenden Zusammenhang, der in Aufgabe 4 angestoßen wird, herauszuarbeiten: "Wir haben aus der Änderungsrate Z(t) die Bestandsfunktion V(t) wiederhergestellt. Diesen Prozess nennt man Integrieren." [wiederherstellen = integrare (lat.)]
Vertiefung anhand eines weiteren Applets
Den Ausgangspunkt für diese Vertiefungsphase bietet ein Video, in dem die ruckartige Bedienung eines Wasserhahns gezeigt wird. Analog zur Einstiegsaufgabe rekonstruieren die SuS die Wassermenge in einer Wanne bei bekannter Zuflussgeschwindigkeit.
Je nach Grad der Offenheit und Problemorientierung im Unterricht können die Lernenden entweder eigenständig in Kleingruppen mithilfe des Applets
M2.I.1b App Wasserhahn
die Wassermenge rekonstruieren, oder Sie als Lehrkraft strukturieren den Lernweg dieser Phase mithilfe des Arbeitsblatts
M2.I.1b AB Wasserhahn.
Lösungshinweise zu M2.I.1b AB Wasserhahn (PDF)
Hinweis: Lehrkräfte können das Passwort für die Lösungshinweise unter nuw-mategnu[at]rptu.de erfragt.
Im Unterrichtsgespräch kann weiter thematisiert werden, dass es sich bei der Bestandsfunktion zu einer konstanten Änderungsrate um eine lineare Funktion handelt, deren Steigung dem Wert der konstanten Funktion entspricht.
M2.I.1b App Wasserhahn
die Wassermenge rekonstruieren, oder Sie als Lehrkraft strukturieren den Lernweg dieser Phase mithilfe des Arbeitsblatts
M2.I.1b AB Wasserhahn.
Lösungshinweise zu M2.I.1b AB Wasserhahn (PDF)
Hinweis: Lehrkräfte können das Passwort für die Lösungshinweise unter nuw-mategnu[at]rptu.de erfragt.
Im Unterrichtsgespräch kann weiter thematisiert werden, dass es sich bei der Bestandsfunktion zu einer konstanten Änderungsrate um eine lineare Funktion handelt, deren Steigung dem Wert der konstanten Funktion entspricht. Zeitbedarf
2-3 h + Übungen
Übungsaufgaben
Aufgabe 1 und 2 im Online-Mathematikbuch o-mathe: https://o-mathe.de/integralrechnung/integral/bestandsrekonstruktion/zuflussabfluss/lernstrecke/berechnungen
Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 200/201 (insb. Nr. 2 und 5)
Elemente der Mathematik, RLP, GK (2017), S. 160/161 (insb. Nr. 2 und 5)