De stelling van Viviani
- Auteur:
- Kelly Aerts
- Onderwerp:
- Gelijkzijdige driehoeken, Meetkunde, Driehoeken
Wat stelt de stelling?
In een gelijkzijdige driehoek is de som van de afstanden van een willekeurig punt binnen de driehoek tot de drie zijden, constant en gelijk aan de hoogte van de driehoek.
Hoe gaan we te werk?
We maken eerst een visuele voorstelling van de stelling met een applet.
Daarna werken we met de formule om de oppervlakte van een driehoek te berekenen.
Tot slot integreren we de formule in de applet.
Volg de verschillende stappen die worden aangegeven in de applet.
Als je een stap voltooid hebt, vink je het vakje aan. Er zal een nieuwe opdracht verschijnen.
Een visuele voorstelling
De oppervlakte
We kunnen de stelling bewijzen door gebruikt te maken van de oppervlakten van de driehoeken.
De oppervlakte van driehoek ABC is gelijk aan de oppervlakte van driehoeken ABP + BCP + CAP ofwel:
A(ABC) = A(ABP) + A(BCP) + A(CAP)
Gebruik onderstaande applet om de formule verder in te vullen.
Het bewijs
Met behulp van bovenstaande applet komen we tot het volgende:
A(ABC) = A(ABP) + A(BCP) + A(CAP)
h = k + l + m
Hiermee hebben we bewezen dat de som van de afstanden (k, l en m) van een willekeurig punt (P) binnen de driehoek (ABC) tot de drie zijden constant en gelijk is aan de hoogte (h) van de gelijkzijdige driehoek.
Gebruik onderstaande applet om volgende vragen te beantwoorden:
1. Wat gebeurt er als je punt P verplaatst binnen de driehoek?
2. Wat gebeurt er als je punt P buiten de driehoek plaatst?