Inversión de haces de circunferencias. Tangencias
- Tema:
- Círculo
Proceso de determinación por inversión de las circunferencias tangentes a dos de un haz.
Los deslizadores permiten modificar la distancia entre los centros de las circunferencias, d, el radio de c2 (para un c1 dado), la altura del centro de la circunferencia del haz conjugado, h, y el radio de la circunferencia de puntos dobles de la inversión.
A la izquierda, el problema original, a la derecha el problema tras una inversión de centro uno de los puntos límites L1 (haz hiperbólico) o uno de los puntos fundamentales F1 (haz elíptico).
Haz hiperbólico:
-Las circunferencias del haz definido por c1 y c2 se transforman por inversión en circunferencias concéntricas de centro L'2, el inverso del otro punto límite del haz.
-Como puede comprobarse activando la casilla "Haz conjugado" las circunferencias del haz conjugado (Cc) se transforman en rectas que pasan por L'2.
-Dado una circunferencia Cc, se tienen dos puntos de tangencia para c1 y c2, permitiendo eso calcular 4 soluciones diferentes (mostradas en las casillas correspondientes).
-Al activar "LG de centros" se aprecia que en el plano inverso los centros de estas circunferencias solución describen al cambiar h circunferencias concentricas a las del haz. Sin embargo, en el plano original estos lugares geométricos son cónicas.
-De todas las posibles soluciones en el mundo inverso habrá 4 soluciones concretas que pasan por el punto L1, centro de inversión. Al transformar de vuelta al mundo normal esas soluciones se convertirán en circunferencias, las soluciones de radio infinito que se corresponden con las rectas tangentes a ambas circunferencias ("rectas tangentes").
-En el mundo inverso podemos apreciar que existe una circunferencia (vista al activar "Ortogonal") que es ortogonal a todas las soluciones como la solución 1 y 2, y diametral a todas las de tipo 3 y 4. La condición de ortogonalidad se mantiene al invertir, pero la diametralidad no, de forma que en el mundo normal es ortogonal a las soluciones 1 y 2, pero no diametral de 3 y 4. El centro de esta circunferencia en el plano normal se puede determinar facilmente, es el punto de corte de las soluciones de radio infinito, es decir, las rectas calculadas anteriormente.
Haz elíptico:
-Si las circunferencias c1 y c2 se cortan, el haz es de naturaleza elíptica. En este caso, al invertir por uno de los puntos fundamentales, F1 las circunferencias del haz se transforman en un haz de rectas que pasan por el inverso del otro punto fundamental, F'2.
-El haz conjugado se transfoma entonces en un haz de circunferencias concentricas de centro F'2. Observese que la situación es la opuesta que en el problema hiperbólico, dado que es el problema conjugado.
-Una vez más, dada Cc se tienen cuatro puntos de tangencia, lo que permite obtener 4 soluciones.
-El lugar geométrico de los centros de las soluciones en el mundo inverso ahora son dos rectas (es decir, dos rectas del haz, inversas de dos circunferencias en el mundo normal), mientras en el mundo normal siguen siendo cónicas.
-En esta configuración sólo existen 2 soluciones en el mundo inverso que pasan por el centro de inversión, correspondiendo con las dos rectas tangentes a c1 y c2.
-Ahora existen dos circunferencias del haz con condición de ortogonalidad, una con las soluciones de tipo 1 y 2, y otra con las de tipo 3 y 4, que en este caso se corresponden con el inverso de los lugares geométricos de centros en el mundo inverso.
NOTA: La última actualización de geogebra ha hecho que la construcción de esta figura sea inestable. Intentaré arreglarlo en cuanto pueda.