QG V - Lösungsformel anwenden ("p-q-Formel")
- Autor:
- L. Böker
Auf der vorherigen Seite haben wir die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (kurz: "p-q-Formel") hergeleitet über die quadratische Ergänzung.
Die Anwendung der p-q-Formel gestaltet sich aber deutlich einfacher. Wichtig ist, dass die quadratische Gleichung in der sog. Normalform
vorliegt.
Ist dies nicht der Fall, z.B. weil vor dem x2 noch ein Vorfaktor steht oder die einzelnen Summanden nicht auf einer Seite der Gleichung stehen, so ist die Gleichung vorher durch Äquivalenzumformung auf die Normalform umzuformen.
Das "Kochrezept" zur Verwendung der "p-q-Formel" lautet:
- Nimm die Zahl vor dem "x", teile sie durch 2 und drehe das Vorzeichen um (-p/2).
- Dann das Doppelzeichen
- Dann die Wurzel.
- Dann das Quadrat aus der Zahl aus Schritt 1 (dies ist die sog. quadratische Ergänzung)
- Ziehe die Zahl ohne "x" (also das q) davon ab (wobei -(-q) = +q ist, also ein negatives q wird addiert).
Beispiel 1: Bei der quadratischen Gleichung
ist p=9 und q=18:
Die quadratische Gleichung
besitzt also die Lösungen x=-3 und x=-6.
Anders formuliert:
Der Graph der Parabel zu schneidet die x-Achse bei / besitzt die Nullstellen x=-3 und x=-6.
Beispiel 2:
Gegeben ist die Funktion .
Bestimme die Nullstellen der Funktion.
Zu lösen ist die quadratische Gleichung. Da vor dem x2noch der Vorfaktor -2 steht, ist die gesamte Gleichung noch durch -2 zu dividieren:
Da unter der Wurzel eine negative Zahl steht (Diskriminante ist kleiner als Null), kann die Wurzel nicht berechnet werden. Die quadratische Gleichung hat also keine Lösung.
Das ist gleichbedeutend damit, dass der Graph zur Parabel keine Nullstellen besitzt, da dieser bspw. nach unten geöffnet und nach unten verschoben ist.