Approfondimento 1: area del segmento parabolico
L'area compresa tra una parabola e una retta ad essa secante porta il nome di segmento parabolico. Pur essendo una parte di piano delimitata da una curva, la sua area si può calcolare facilmente grazie al seguente risultato teorico:
Teorema: se la retta r interseca la parabola γ in due punti distinti A e B, allora l'area del segmento parabolico di base AB è uguale ai dell'area del triangolo ABC, in cui C è il punto della parabola per cui passa la sua retta tangente parallela ad r.
Spieghiamo meglio, utilizzando anche il foglio di lavoro sottostante:
Nel foglio qui sopra abbiamo una retta r e una parabola γ, in cui sono già evidenziati i loro punti d'incontro A e B.
Cliccando il tasto "Mostra triangolo" del foglio, compare il triangolo ABC citato nel teorema.
La retta che completa il triangolo ha le seguenti proprietà:
- è parallela alla retta AB;
- è tangente alla parabola.
Queste due proprietà sono sufficienti per individuare i coefficienti m e q della retta, e quindi a individuarne l'equazione, e quindi anche il punto C in comune tra la retta e la parabola.
Vediamo di capire come trovare questa retta, seguendo l'attività guidata.
La retta r passante per i punti A e B ha equazione . La retta t passante per C è parallela ad essa, quindi che proprietà devono soddisfare i suoi coefficienti?
La retta t passante per C è inoltre tangente alla parabola γ. Ricordi qual era la condizione di tangenza tra una retta e una parabola?
Sapresti quindi spiegare quali passaggi devi eseguire per trovare l'equazione della retta t passante per C che soddisfi tutti i requisiti richiesti? Puoi aiutarti con un esempio.