つぶ波を解とするシュレディンガー方程式を作ろう
このワークシートはMath by Codeの一部です。
これまで、シュレディンガー方程式をめざして、
さまざまな数学的な準備をしてきました。
今回は、つぶ波を複素数に広げ、つぶ波が解となる波動方程式、
シュレディンガー方程式をつくろう。
１．波の式をつぶ波にする
実数の波動方程式（微分方程式）を振り返ろう。
・波の式
f(x,t)=Asin[2π(x/λ-t/τ)]。
λ：波長（空間周期）、ν：振動数＝1/時間周期τ、速さｖ＝λ/τ=λν
これを2回偏微分することで、
・波動方程式
ft"=v2 fx"
線形偏微分方程式（波動方程式）ができた。
sinもcosも波の式になるので、これをiを使って１つにつないだものが複素数の波の式ができるはず。
２つの三角関数をセットにして指数関数化できるオイラー等式（exp(iθ)=cosθ＋isinθ）を使おう。
f(x,t)=Asin[2π(x/λ-t/τ)]
↓sinをexpにする。θをiθにする
f(x,t)=Aexp[2πi(x/λ-t/τ)]
↓ド・ブロイのつぶ波の関係式を入れる
↓波長λ＝プランク定数ｈ/運動量p
↓振動数ν＝時間周期τの逆数＝エネルギーE/プランク定数
関数名も慣例にあわせて、複素数っぽくプサイにしてみる。
＜つぶ波の式＞
ψ(x,t)=Aexp[2πi(px/h-Et/h)]
=Aexp[2π/h i(p x-E t)]
=Aexp[ (p x-E t)]
２．ハミルトニアンHを区別しよう
古典解析力学のハミルトニアンHはエネルギーだった。
現代解析力学のハミルトニアンHは演算子だ。
区別するために、ハットを上につけたりする。
＜古典のH＞
質量ｍの自由粒子の一般座標をｑとするとき、
運動エネルギーT＝1/2 * m(q')^2
ラグラジアンL=T-V(q)=1/2 m(q')^2 - V(q)
運動量p=∂L/∂q'=m(q')だから、q'=p/mとなるね。
ということは、T=1/2 *m(p/m)^2=1/(2m) *p^2
H=q'p - L=m(q')^2 - (1/2 m(q')^2 - V(q))=1/2m(q')^2 +V(q)
= T+V(q)=1/(2m) *p^2 + V(q)
＜量子力学のH＞
3次元座標は （x,y,z) ⇒ （ x,y,z）
位置をベクトル化すると q ⇒ ｒ
3次元運動量は （px,py,pz) ⇒ ‐ (∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z）
運動量をベクトル化すると p ⇒ ‐ ∇
p^2 ⇒ ‐ ∇^2
この置き換えをHの式にしよう。
ハミルトニアン（エネルギー）H＝1/(2m) *p^2 + V(q) ⇒
ハミルトニアン演算子H＝ー1/(2m) * ∇^2 + V(ｒ) ⇒
位置エネルギーを時間の関数にすると、 H＝ー1/(2m) * ∇^2 + V(ｒ ,t )
（∇^2 はラプラス演算子）
３．シュレディンガー方程式を作ろう
＜次はつぶ波から波動方程式をつくる＞
つぶ波の式
ψ(x,t)=Aexp[ (p x-E t)]
ψをｘ、ｔで偏微分する。
∂ψ/∂x＝ip/ ψ
∂2ψ/∂x2＝-(p/)2 ψ ⇒ p2 ψ=-2 ∂2/∂x2 (ψ) 「式１」
ψ∂ψ/∂t＝-iE/ ψ ⇒ i ∂/∂t(ψ) = E(ψ) 「式２」
∂2ψ/∂t2＝(E/)^2 ψ
2回微分同士では、実波動関数と同じなってしまうので方針を変えよう。
古典自由粒子のエネルギーを前提にした波動方程式（微分方程式）を作りたい。
自由粒子では、エネルギーE＝p2/（2m） ⇒
両辺に波の式をかける。E(ψ)＝1/(2m) p2(ψ) 「式３」⇒
古典解析力学ではE＝Hだったから
H（ψ）＝1/(2m) p2(ψ)が、
式３の左辺に式２を代入し、式３の右辺に式１を代入する。
[i ∂/∂t ]（ψ） = [- ∂2/∂x2] （ψ）に変わったことになる。
これは、ハミルトニアンHのｐを－i ∂/∂ｘに置き換えたことになっているね。
この置き換えがつぶ波の偏微分から生まれていたことがわかったね。
だから、演算子としてのハミルトニアンをHとすると、
これが古典自由粒子のエネルギーを前提にした波動方程式（微分方程式）、シュレディンガー方程式だ。
ただし、系によって、Hは変わるので注意しよう。
４．ハミルトニアン演算子、シュレディンガー方程式は多様だ
＜多様なH演算子＞
・古典自由粒子では、ハミルトニアン演算子は
^H=- ∂2/∂x2
・1次元のポテンシャルエネルギーが時間の関数での運動では、ハミルトニアン演算子は
^H=- ∂2/∂x2＋V（ｘ、ｔ）
・水素原子の中の電子の運動では、ハミルトン演算子は
^H=- ∇2ーe2/(4πε0|r|)
＜定在波＞
さて、ここで、ド・ブロイの物質波（定在波）を思い出そう。
円周を決まった波長で、振幅が時間とともに変化するけれど、空間的な形としての波長・周波数は
変化しないものだった。
たとえば、円周にできる波でなくても、弦楽器の振動なども定在波だね。
さて、式の確認をすると、
ｎは自然数。
波長＝２L/n
振動数ν＝ｖ/λ＝nv/2L
弦がきまると位相速度ｖは一定。空間形状が時間の進行と関係ないとすると、
ψ（ｘ、ｔ）＝φ（ｘ）ｆ（ｔ）
このように、状態関数自体を空間関数と時間関数の積に分離できるはずだね。
＜定在波の方程式＞
定在波の性質ψ（ｘ、ｔ）＝φ（ｘ）ｆ（ｔ）を
シュレディンガー方程式
に代入する。
次のように、変数分離形にできるね。
ここで、どの（ｘ、ｔ）に対しても成り立つのは両辺が定数Eのときだから、
２つの式に分解できる。
・右辺は時間に依存しないシュレディンガー方程式
Hφ(x)/φ(x)=Eとすると、Hφ(x)=Eφ(x)
これはまさに、H |φ＞＝E｜φ＞だから、
ブラとケットのときに触れた行列の固有値、固有ベクトルを求めることになるね。
・左辺は時間に依存するシュレディンガー方程式
df(t)/dt=1/ *E f(t)
もともと、ψ(x,t)=Aexp[ (p x-E t)]としていたので、 ｔだけの関数f(t)=exp[ーE t)]としてみよう。
すると、df(t)/dt＝-i/ *E f(t) =1/ *E f(t) とうまくいく。
もともと、ψ（ｘ、ｔ）＝φ（ｘ）ｆ（ｔ）としていたので、
つぶ波の式は
ψ（x,t）=φ（ｘ）exp[ーE t)]
この式で、定在波の時間発展がわかるね。
５．つぶ波と確率
さて、つぶ波（波動関数）がシュレディンガー方程式（波動方程式）の解であることから、
方程式を作ることをしてきた。
こんどは逆に方程式を中心にみてみよう。
代数方程式にはｎ次なら複素数の中にｎ個の解が存在する。波動方程式はどうだろう。
無数の解が可能になる。
なぜか、波動方程式が、たとえば、時間に依存しない形の固有方程式だとしても、
固有値の数だけ固有関数（固有ベクトル、波動関数）が存在する。
しかし、それだけではない。波動方程式は線形方程式だから、固有値をCONSにすると、
その線形結合がまたまた解になる。
これは、波の重ね合わせがあらたな波を生むことでカンタンにイメージできるね。
１つ１つの波動関数はつぶ波の状態の状態を表す。
φ(x,t)は正規化すると、＜φ｜φ＞＝１になる。
だから、∫φ*φdx=∫|φ|2dx＝1(全確率）
確率密度が|φ|2
そのうちｘが[a,b]の区間にある確率は、∫a,b |φ|²dx が存在確率だ。
つぶ波が、見つかる確率だ。
ふつうの粒は、消滅しないし、時間による連続性がある（と信じられている）。
しかし、つぶ波は確率的に存在する。
粒子がA地点からB地点に移動しているように見えても、
その途中経路を古典力学のようにかならず連続的に通過するとは言い切れない。
1秒前の世界と今の世界はつながっているかもしれないし、いないかもしれない。
左の粒子と右の粒子は1秒前は入れ替わっていたかもしれない。
「つぶ波」というのは私のヘンテコな造語ですが、
「量子」という、かたまり、不連続なもの
という言い方よりも、
粒だけど波として伝わるもの、という意味が伝わりやすいから
「つぶ波」でいいと思う。
「つぶ」という言葉で、不連続性がわかるしね。
シュレーディンガー方程式を作った当のシュレーディンガーさんでさえ、
電子は波として存在する、
電子は雲のように存在する、
と最初は考えていたという説もあります。
その存在イメージのあいまいさを打破したのが、ボルンさんです。
物質は粒として存在できるが、それは位置も運動量も確定値を持つ
古典力学的な実在物ではない。
「つぶ波は確率的に存在する」
何回も測定すると、存在する確率が確定値に一致する。物理量は誤差という意味ではなく、
同じ状態でも物理量は変化しうる。
波動関数φ(x,t)の状態で、時刻ｔで電子の位置を測定するときに、点ｘを含むdx内に電子がみられる確率は｜φ(x,t)|^2dxに比例する。（ボルンの確率解釈）
存在自体が確率的なのであるが、粒として存在し、波として伝わる。
これが、量子、つぶ波だから、
物理量としての、位置、運動量、エネルギーについても、
確定的に実在するものではなく、
確率的に存在するということだね。
＜平均と分散＞
だから、理論的であっても確定値を求めることはできない、
量子力学で理論的に求められる物理量は、確率的な値、期待値だ。
・平均は期待値の総和なので、Σｘ×確率で出せた。これを連続化すればよいね。
位置の平均、期待値は
＜ｘ＞＝＜ψ｜ｘ｜ψ＞＝∫x|ψ(x,t)|２dx=∫ψ(x,t)*x・ψ(x,t)dx
運動量の平均、期待値は
同様に＜p＞＝∫ψ(x,t)*ｐ・ψ(x,t)dxで、ｐを- ∂/∂xにおきかて、
＜p＞＝- ∫ψ(x,t)*・∂/∂x(ψ(x,t))dx
・分散は、（2乗の平均ー平均の2乗）のルートで出せた。これを連続化すればよいね。
位置の分散はΔｘ＝sqrt(＜ｘ2＞-＜x＞2), 運動量の分散はΔｐ＝sqrt(＜p2＞-＜p＞2)
＜x^2＞＝∫φ*x2φdx=∫x2φ2ｄｘ
＜p^2＞＝∫ψ(x,t)*ｐ2・ψ(x,t)dx=- ∫ψ(x,t)*・∂2/∂x2(ψ(x,t))dx
＜不確定性原理＞
以上の情報をまとめて、計算をするとΔｘ・Δｐ≧/2
つぶ波の位置の分散と運動量の分散を同時に０にすることはできない。
まあ、つぶ波としては、確率的に存在しているわけだから不思議なことではない。
存在自体が人間の観測から分離されて独立して不動のものとしてある
というイメージの思想では受け入れがたい。
このあたりは、シュレーディンガーの猫で有名なコペンハーゲン解釈とアインシュタインの苦情、
エヴレットの多世界解釈など議論が絶えないが、
解釈がどうであれ、どう計算可能かという世界の幾何学で存在の語り方が決まるというだけのことだ。
日常言語と、古典科学の言語で語りにくいのは、言語の方の問題であり、
量子力学が矛盾していたり、あいまいであるという意味では全くない。
課題：不確定性原理をgeogebraで視覚化するにはどうしたらよいですか。
分散Δｘ、Δｐをたて、よこの軸にします。
ただし、さいずがミクロすぎるので、指数表現で
hidx=10^(-34), hbar＝hv×hidx
hidx=10^(-27), Δp＝pv×hidx
Δxはhbar/Δpにすると、メモリがどんなに小さくしても軸と一体化します。
そこで、
ｘ＝hv/pvを求めて、(x,pv)が乗るように、反比例曲線（xx, hv/xx, 0.01, 9)をかきましょう。
そして、数値としてはb＝hv*hidx/ pv*pidxを計算します。
日常的には10^(-8)程度のオーダーなら気にならないですが、
精密な実験をするときは、かなり効いてくるでしょう。