Função Quadrática
Funções polinomiais do segundo grau, ou funções quadráticas, são funções expressas por polinômios de grau 2, isto é, , com . Tais funções assumem o formato de uma parábola, e podemos observar exemplos de gráficos abaixo:
Coeficientes
O coeficiente determina a concavidade da parábola:
- se , temos uma parábola voltada para cima;
- se , temos uma parábola voltada para baixo.
- se , é crescente em ;
- se , é decrescente em ;
- se , é crescente e decrescente em , e o ponto é o vértice da parábola.
Raízes
As raízes são representadas pelos pontos em vermelho no Applet acima. Estes são os pontos em que a função intercepta o eixo-x, ou seja, valores de onde .
Para determinarmos as raízes, temos , ou seja, e determinamos as raízes utilizando a relação de Bhaskara ou outras técnicas, como equações incompletas (quando ou ) ou Soma e Produto.
A partir disso, podemos realizar outra análise sobre a função. Sendo o discriminante ,
- se , a função apresenta duas raízes reais distintas;
- se , a função apresenta uma raiz real (ou duas raízes reais iguais);
- se , a função não apresenta raízes reais.
Vértice
Para determinarmos o vértice da parábola, utilizamos as seguintes fórmulas:
e
Assim, o vértice é o ponto . Observe a relação do discriminante e o vértice no Applet abaixo.Domínio e Imagem
Assim como toda função polinomial, as funções polinomiais de segundo grau têm como domínio o conjunto dos números reais.
Diferente das funções polinomiais de primeiro grau, as funções polinomiais de segundo grau possuem um mínimo, ou um máximo. Assim, sua imagem depende de sua concavidade. Observe no Applet abaixo:
- se , a função é côncava para cima, e possui um ponto mínimo. Assim, a imagem é formada pelos valores ;
- se , a função é côncava para baixo, e possui um ponto máximo. Assim, a imagem é formada pelos valores .