Sistemas de referencias en el plano
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
Las coordenadas (px, py) de un punto cualquiera P en el plano cartesiano son un par de números ordenados (primero x, después y) que indican la posición de P en el plano. El centro de coordenadas es el punto (0, 0). Si consideramos los vectores
i = y j =,
las coordenadas de P significan que el vector de posición de P (que denominamos p) es una combinación lineal de los vectores i, j:p= px+py
Es decir:p = px i + py j
Esta combinación lineal depende del sistema de referencia S2={(0, 0), i, j}, formada por el centro de coordenadas y el par de vectores independientes {i, j}. Este par de vectores se denomina base canónica, por lo que al sistema S2 le llamaremos sistema de referencia canónico (también se conoce como sistema de referencia universal) del plano cartesiano. Si ahora tomamos un sistema de referencia diferente S={O, a, b}, donde O=(ox, oy) es un punto del plano y a y b son vectores independientes, un punto P' de coordenadas las mismas que P pero con respecto a este nuevo sistema de referencia S tendrá como vector de posición, en S, una combinación lineal de los vectores a, b:= px a + py b
Por lo que sus coordenadas en el plano cartesiano serán:p'= = +px+py
La expresión de P' se puede manejar con mayor facilidad sustituyendo la ecuación vectorial por su equivalente ecuación matricial. Para ello, consideramos la matriz M = (a | b), denominada matriz de cambio de base:
De este modo, P' se puede expresar simplemente como (recordemos el abuso de notación):P' = O + M P
En la construcción, mueve P para observar qué le sucede a P'. En particular, observa que cuando P ocupa la posición (1, 1), P' ocupa la posición O + 1a + 1b. Nota: Que P' quede determinado por S={O, a, b} no significa que S quede determinado por P'. Es decir, el mismo punto P' puede ser imagen del mismo punto P respecto a varios sistemas de referencia diferentes. Por ejemplo, al iniciarse la construcción, P'=(4, 7) es la imagen de P respecto al sistema {O=(5, 2), a=(3, 1), b=(-2, 2)}, pero P' también es (4, 7) respecto al sistema {O=(6, 0), a=(4, 1), b=(-3, 3)}.Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.