Differentialrechnung - Einführung

Differentialrechnung (Elbpegel Dresden) Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du erarbeiten, wie man mit Hilfe des Differenzenquotienten die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x_0 bestimmt. Der Differenzenquotient (Darstellung als Steigung einer Sekante) geht in den Differentialquotienten (Darstellung als Steigung einer Tangente an der Stelle x_0) durch den Grenzwertprozess für den Differenzenquotient mit Δx->0 über. Die zu der Funktion f(x) zugehörigen Ableitungsfunktionen f'(x) und f''(x) werden als Graphen ebenfalls dargestellt. Die Zusammenhänge zwischen f(x), f'(x) und f''(x) werden sichtbar. Auch physikalisch gesehen kannst du an diesem Beispiel interessante Erkenntnisse über den Zusammenhang zwischen den physikalischen Größen Weg s, Zeit t, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a gewinnen. [Bemerkung: Die hier verwendete quadratische Funktion f(x) stellt mit einem Bestimmheitsmaß von 0,98 eine sehr gute Näherung für den zeitlichen Verlauf des Elbpegelstandes in Dresden an der Augustusbrücke im August des Jahres 2002, dem Jahr des Jahrhunderthochwassers, für einen Pegelstand über 700 cm (Alarmstufe 4) dar. Der Zeitpunkt x=0 entspricht dem 14.08.2002 19 Uhr. Diese Funktion wurde mit dem Verfahren der quadratischen Regression (die Regressionsanalyse ist ein Teilgebiet der mathematischen Statistik) ermittelt. In diese Berechnung gingen die tatsächlich gemessenen Pegelstände ein, die über www.wetteronline.de publiziert wurden.]
Aufgaben 1. Stelle x_0 festlegen Lege die Stelle x_0, an der die Steigung des Graphen bestimmt werden soll, durch Verschieben des Punktes A (Punkt mit Maus und linker Maustaste festhalten und verschieben) fest. 2. Intervall [x; x_0]=[a;b] festlegen Da nicht klar ist, wie man die Steigung an einer einzelnen Stelle bestimmen soll, versuchen wir dieses Problem zurückzuführen auf die Bestimmung einer durchschnittlichen Steigung in einem Intervall. (Das können wir schon.) Die eine Intervallgrenze ist das eben eingestellte x_0. Die andere Grenze x kann mit Hilfe des Punktes B festgelegt werden. Jetzt haben wir ein Intervall [x_0; x]=[a;b], gekennzeichnet durch die senkrechten schwarzen Linien a (an der Stelle x_0) und b (an der Stelle x). 3. Steigung der Sekante Nun legen wir eine Gerade durch A und B (eine sogenannte Sekante), deren Steigung wir mit den grünen Linien (Steigungsdreieck) leicht bestimmen können. Aktiviere das Kontrollkästchen "Sekante einblenden"! Die so berechnete Steigung ist die durchschnittliche Steigung des Funktionsgraphen auf dem Intervall [x_0; x]. Der Bruch Δy / Δx, mit dem sie berechnet wird, heißt übrigens Differenzenquotient. 4. Grenzwertprozess für den Differenzenquotienten Wenn du nun den Punkt B immer näher an A heranbewegst (damit also das Intervall immer schmaler machst), so erhältst du immer bessere Näherungswerte für die Steigung an der Stelle x_0 selbst. Was passiert mit dem Differenzenquotienten Δy / Δx , wenn du mit B genau auf A fährst? Kann man dann überhaupt noch einen Wert ausrechnen, wenn Δx gegen Null geht? 5. Tangente Aktiviere das Kontrollkästchen "Tangente einblenden" und du siehst, was mit der Sekante und der Tangente passiert, wenn du den Punkt B in den Punkt A (Stelle x_0) führst. Schaue dir das Steigungsdreieck der Tangente an. 6. 1. Ableitung Aktiviere das Kontrollkästchen "1. Ableitung f'(x) einblenden". Beantworte die Frage, warum zu der quadratischen Funktion f(x) für f'(x) als Graph eine Gerade eingeblendet wird. Was erhältst du, wenn du in die Gleichung für f'(x) einen konkreten Wert x_0 (bspw. x_0=6) einsetzt? Vergleiche diesen Wert mit dem Wert der Tangentensteigung für die Tangente im Punkt x_0! Verfolge die Punktkoordinaten des Punktes D, wenn du den Punkt A (Stelle x_0) verschiebst. 7. Scheitelpunkt und Nullstelle Verschiebe jetzt den Punkt A so, dass die Tangente eine Waagerechte bildet. In welchem Punkt x ist das der Fall? Was hat die Steigung der Tangente im waagerechten Fall für einen Wert? Schaue jetzt auf die Nullstelle der Ableitungsfunktion f'(x). Gibt es Gemeinsamkeiten zwischen der Nullstelle von f'(x) und dem Scheitelpunkt der Parabel, die durch den Graphen von f(x) gebildet wird? 8. Scheitelpunktwerte An welchem Tag wurde der Scheitel erreicht? Gib ungefähr das Datum und die Uhrzeit für den Scheitel an. Wie hoch war der Pegelstand am Scheitelpunkt? 9. 2. Ableitung Aktiviere das Kontrollkästchen "2. Ableitung f''(x) einblenden". Die 2. Ableitung f''(x) von der Funktion f(x) ist die 1. Ableitung von der Funktion f'(x). Beantworte die Frage, warum zu der quadratischen Funktion f(x) für f''(x) als Graph eine Waagerechte eingeblendet wird. Vergleiche den Koeffizienten von x² in f(x) mit dem Koeffizienten von x in f'(x) und dem Koeffizienten von x° in f''(x). 10. Auch physikalisch gesehen bietet dir die Differentialrechnung interessante Aufschlüsse. f(x) stellt die Elbpegelhöhe in cm dar, ist also eine Strecke s. Auf der Abzissenachse wird mit x die Zeit t abgetragen. Damit ist der Graph für f(x) ein s-t-Diagramm. Der Differenzenquotient Δy/Δx (Steigung der Sekante) als auch der Differentialquotient dy/dx (Steigung der Tangente) sind Quotienten aus Streckendifferenzen und Zeitdifferenzen. Physikalisch gesehen werden also Geschwindigkeiten zum Ausdruck gebracht. Die Tangentensteigung bzw. die 1. Ableitung f'(x) an der Stelle x_0 lässt sich damit als Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t_0 interpretieren, eine Geschwindigkeit die angibt, um wieviel cm die Elbe je Tag (24 Stunden) in der Lage war zu einem bestimmten Zeitpunkt zu steigen bzw. zu fallen. Und jetzt die Aufgaben: Um von der Steiggeschwindigkeit der Hochwasser führenden Elbe einen Eindruck zu erhalten, bestimme diese zum Zeitpunkt am 15.08.2002 11 Uhr in cm/d [d=Tag], m/d und cm/h in ungefährer Größe durch Verschieben der Tangente (Punkt A auf diesen Zeitpunkt verschieben) und mittels Kopfrechnen. Zu welchem Zeitpunkt erreicht die Steiggeschwindigkeit den Wert Null? Wie verhält es sich mit der Veränderung der Geschwindigkeit vor und nach dem Scheitel, also der Beschleunigung? Kannst Du aus der Funktionsgleichung für f(x) den Wert für die Beschleunigung ablesen, wenn du dir die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung in Erinnerung rufst? Ist die Beschleunigung positiv oder negativ? Welche Maßeinheit für die Beschleunigung würdest du ansetzen? 10. Halten wir abschließend fest: a) Bei Annäherung von x gegen x_0 nähert sich die Sekante einer Tangente an. Die Steigung dieser Tangente ist die Steigung der Kurve an der Stelle x_0. Das heißt, wir erhalten die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x_0 zunächst nicht als direkt berechenbaren Wert sondern lediglich als Grenzwert einer Folge von Sekantensteigungen. b) Die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x_0 erhältst du aber auch, wenn du den Wert für x_0 in die Ableitungsfunktion f'(x) einsetzt. Mit dieser Ableitungsfunktion lassen sich die Steigungen von f(x) an der Stelle x_0 berechnen. c) Im Scheitelpunkt von f(x) hat die Tangente die Steigung Null. An dieser Stelle besitzt die Ableitungsfunktion f'(x) dementsprechend eine Nullstelle. Daraus ergibt sich der Schluss, dass die Stelle x, an der ein Scheitelpunkt existiert, ermittelt werden kann, wenn f'(x)=0 gesetzt wird und die Gleichung nach x umgestellt wird. d) Physikalisch gesehen stellt der Graph für f(x) ein s-t-Diagramm dar, der Graph für f'(x) die zugehörige Geschwindigkeit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu einem bestimmten Zeitpunkt t_0. Aus der 1. Ableitung s'(t) einer s-t-Funktion s=s(t) erhältst du die Geschwindigkeit mit der Funktion v=v(t). e) Da die Beschleunigung die Veränderung der Geschwindigkeit je Zeiteinheit zum Ausdruck bringt, sollte die Beschleunigung mit dem Differentialquotienten dv/dt berechenbar sein, also a(t)=v'(t). Da aber v(t) sich aus der 1. Ableitung der Funktion s=s(t) mit v=v(t)=s'(t) ergibt, sollte a=a(t)=s''(t) sein. 12. Die nächste Aufgabe wird nun sein, dieses anschauliche Verfahren noch mehr formelmäßig und rechnerisch in den Griff zu bekommen. Heinz Lindner, Dresden, www.lindner-dresden.de - Analysis www.lindner-dresden.de/analysis.htm