Estructura del Curso

Los dos problemas fundamentales son = y para matrices cuadradas. El primer problema = tiene una solución cuando las columnas de A son independientes. El segundo problema es para vectores propios independientes. Una parte importante de este curso es aprender el significado de "independencia". Lo mejor es aprender a partir de ejemplos. Puede ver que:

La columna 1 más la columna 2 es igual a la columna 3. Un teorema maravilloso del álgebra establece que las filas tampoco son independientes. La tercera fila debe estar en el mismo plano que las dos primeras. Con alguna combinación de los renglones 1 y 2 se obtiene el renglón 3. Quizá el lector pueda encontrar rápidamente esta combinación (yo no pude).

La eliminación es la forma simple y natural para entender una matriz al producir bastantes elementos iguales a cero. Por tanto, el curso empieza aquí. ¡Pero no se quede demasiado ! El lector debe proceder de combinaciones de las filas a la independencia de estas y de ahí a la "dimensión del espacio fila". Este es el objetivo clave, abordar todos los espacios formados por los vectores: el espacio fila, el espacio columna y el espacio nulo. Otro objetivo es comprender la manera en que actúa una matriz. Cuando A se multiplica por se obtiene el nuevo vector . Todo el espacio de vectores se mueve; es "transformado" por A. Transformaciones especiales se obtienen de matrices particulares, Y aquellas son las primeras piedras del álgebra lineal: matrices diagonales, matnces ortogonales, matrices triangulares, matrices simétricas. La belleza del álgebra lineal se puede apreciar de varias maneras: 1. Visualización. Combinación de vectores. Espacios de vectores. Rotación, reflexión y proyección de vectores. Vectores perpendiculares. Cuatro espacios fundamentales. 2. Abstracción. Independencia de vectores. Base y dimensión de un espacio vectorial. Transformaciones lineales. Descomposición del valor singular y la mejor base. 3. Cálculo. Eliminación para producir elementos cero. Gram-Schrnidt para producir vectores ortogonales. Valores característicos para resolver ecuaciones diferenciales y en diferencias. 4. Solución por mínimos cuadrados cuando Ax = b tiene demasiadas ecuaciones. Ecuaciones en diferencias que aproximan ecuaciones diferenciales. Matrices de probabilidad de Markov (¡la base para Google!). Vectores característicos ortogonales como ejes principales (y más ... ). Después de estos comentarios el libro hablará por sí mismo. De inmediato observará el espíritu. El énfasis se pone en la comprensión: se intenta explicar, más que deducir. Este es un libro sobre matemáticas verdaderas, no un ejercicio interminable. Trabajaremos constantemente con ejemplos para enseñar lo que necesitan los estudiantes.