Tarea 3 derivadas. Elena Bau y Gemma Antón Calcular la velocidad instantánea en un punto a partir de las velocidades medias
Mira la gráfica y encuentra el punto A en la función f(x). El punto A es un punto que hemos tomado como ejemplo. Lo que veremos a continuación sería valido para cualquier punto de la función. Mueve el deslizador h. h corresponde al valor de un incremento de X dado a partir de A. El deslizador te permite hacer una variación de -0,5 a 0,5. En la grafica verás donde se situa el punto B cuando mueves el deslizador. El punto B representa donde estaria el punto A cuando X sufre un incremento de valor h. Date cuenta de que cuando x sufre un incremento de valor h, y sufre un incremento de valor f(A+h)-f(A) Veras dibujados estos valores en lineas a rayas naranja y rosa respectivamente.
La recta punteada color de rosa te muestra la unión de los puntos A y B Dependiendo del movimiento del deslizador, ¿ La recta punteada en rosa es secante o tangente? ¿Que relacion tiene esto con la situacion del punto B con respecto al punto A? ¿Te das cuenta de que la pendiente de esta recta va variando a medida que varía la posición de B?
Fijate ahora en el rótulo TASA DE VARIACION MEDIA escrito en naranja. Su valor es el de la pendiente de la recta que pasa por A y B en cada caso. Veras la recta dibujada en punteado rosa en la grafica. ¿Que pasa cuando la distancia entre A y B se reduce? ¿Te parece lógico el valor que da la TASA DE VARIACION MEDIA cuando la distancia entre B y A se va reduciendo? Pon el deslizador en 0. Si h= 0. Si h es el valor del incremento, y h=0 entonces NO HAY INCREMENTO. El punto B es el mismo que el punto A. En ese caso h y f(A+h)-f(A) son los dos 0. ¿Que valor toma entonces la TASA DE VARIACION MEDIA? ¿Por que crees que pasa eso?
Encuentra ahora la linea punteada verde. Es la resta TANGENTE a la función en A. ¿Que pasa entre la recta rosa punteada y la recta verde cuando B está en el mismo sitio que A? ¿Esta la recta rosa en el mismo sitio que B? Podríamos decir que estamos estudiando la grafica viendo la variacón de B con respecto de A, verdad¿ Podriamos decir que la estamos estudiando en el momento límite cuando la variación entre ambos llega a ser 0?
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. ¿ Te das cuenta que lo que hemos visto con este ejercicio es que el valor de la pendiente de la recta secante AB se convierte en el valor de la oendiente de la recta tangente en A cuando la variación entre A y B está tan al limite que es inexistente? ¿Te das cuenta de que lo que has estado viendo es la representación gráfica de una derivada?
Date cuenta que el punto A de la gráfica es el punto (1,1). Eso quiere decir que el valor de la función f(x) en A es 1. (Ya habrás visto que en ese caso A es 1) En el texto color verde veras que la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto A es 3. Si haces la derivada de X^3 obtienes 3x^2. En nuestro caso, como en A X=1. el valor de la derivada de la función en A sería 3 (1)^2=3 que es el valor que te daba la pendiente de la recta tangente a F(x) en el punto A.
Por último, cambia la funcion X^3 por cualquier otra y observa los puntos que hemos visto anteriormente.