Sección 1.6 - Triángulo órtico (Ejercicios)
Ejercicio 1
Utilizando la figura, demostrar que , .
Respuesta:
Primero demostremos que .
El cuadrilátero BCEF es cíclico, por lo tanto, y .
Esto implica que . Entonces, , .
Notemos que así que podemos concluir que .
Entonces, por AA,
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Ahora, demostremos que .
Miremos los triángulos y . Ambos triángulos tienen al ángulo C en común.
y .
Como esto implica que . Por la primera parte:
Entonces, por AA,
Ejercicio 2
Dibuje una nueva versión de la previa figura, con un ángulo obtuso en A. ¿Cuál conclusión se debe alterar?
Respuesta:
Observemos la siguiente figura
Vemos que por lo que tenemos que es un triángulo con un ángulo obtuso. Además y . De la única manera que , necesitaríamos que también tenga un ángulo obtuso. Esto implica que . Por lo tanto, pero esto contradice que o si esto también contradice que . No es posible que tenga un ángulo obtuso.
Ya que , entonces si tiene un ángulo obtuso. Concluimos que no puede tener un ángulo obtuso por contradicción.
Por lo tanto, estas conclusiones deben ser alteradas.
Ejercicio 3
El ortocentro de un triángulo con un ángulo obtuso es el excentro de su triángulo órtico.
Respuesta:
Consideremos la siguiente figura:
BDAE es un cuadrilátero cíclico, ya que y donde . Como BDAE es cíclico, entonces . También, .
Mirando a , .
BCFE es cíclico porque . Por tanto, ya que abren el mismo arco, tal que y .
Entonces HB es el bisector externo del ángulo FED. Similarmente, HC es el bisector externo del ángulo EFD.
Como H es el punto de intersección de las bisectrices externas HB y HC entonces el ortocentro es un excentro del triángulo órtico.
Ejercicio 4
Respuesta:
Asumamos que . Entonces y por lo tanto .
Sea y . Notemos que . En vemos que . Además, y son isósceles. Ahora:
(i)
(ii)
(iii)
Si sumamos (i) y (iii) tendremos:
Entonces y tenemos:
.
¡Mueva los puntos en la figura y mire la herramienta CAS a la izquierda de la construcción para comprobar!