Eigenwerte - Eigenvektoren - Diagonalisieren - Jordan-Normalform

Allgemeine Version Rn Elementarmatrizen Ex Ex(a,b,c): Addiere c*Zeile b zu Zeile a ===> Multiplikation von Links Ex(a,b,c): Addiere c*Spalte a zu Spalte b ===> Multiplikation von Rechts Charakteristisches Polynom |A - λ E|=0 4: (A - l Identity(n)) > Determinanten-Berechnung (bringe [4] auf untere/obere Dreiecksmatrix) z.B
Ex(2,3,1) (A-l*Identity(n))Ex(2,3,-1)Ex(1,2,2/(l-6)) ODER Ex(3,2,4(-1)/(l-6))Ex(3,1,-2/(6-l))Ex(2,3,-1) (A-l*Identity(n)) 
5: charPolyn:=Determinant(A - l Identity(n)) > Nullstellen des char. Polynoms definieren die Eigenwerte 6: Eigenwerte:=CSolutions(charPolyn,l) > Aus [4] ===> Eigenwerte = -2 7 7 (algebraische Vielfachheit des EW 7 ist 2: doppelte Nullstelle) 8: Vergleiche die geometrische Vielfachheit n-Rang (A - li E) entsprechend der Dimmension des Vektorraumes der Eigenvektoren. d.h. > λ =-2 ==> DimEigenraum 1 ==> es gibt einen Eigenvektor (Basis) λ = 7 ==> DimEigenraum 2 ==> es gibt zwei Eigenvektoren (Basis)
Ermittlung der Eigenvektoren Der zum Eigenwert λi gehörende Eigenvektor EVi ist Lösung der Gleichung ( A - λi E ) Xi = 0. Aus technischen Gründen wird in folg. Gleichungen das Gleichheitszeichen nicht geschrieben (=0 unterdrückt). Im allgemeinen Fall wären drei verschiedene Eigenwerte möglich, für die die Gleichung zu untersuchen wäre:
=-2=7
10: l1:=(A-Eigenwerte(1) Identity(n)) X >13: l2:=(A-Eigenwerte(2) Identity(n)) X > 16: l3:=(A-Eigenwerte(3) Identity(n)) X > in diesem Fall gibt es nur 2 Eigenwerte, der vorgesehene Rechenschritt ergibt {}
11: Aλ1:=Solutions( I1 , X ) > 14: Aλ2:=Solutions( I2 , X ) > 17: Aλ3:=Solutions( I3 , X ) >
12: > 15: > 18: >
[10,13,16] l1, l2, l3 sind homogene LGS: für eine nicht triviale Lösung muss mind. eine der Variablen unbestimmt bleiben. ===> [11] Aλ1: z = z ===> z bleibt unbestimmt , ===> [14] Aλ2: y = y, z = z ===> y,z bleiben unbestimmt ===> die Zeilen [12,15,17] sind deshalb längere Abhandlungen, weil alle 3 Variablen untersucht werden, um die unbestimmten Variablen zu identifizieren, die dann wechselweise auf 1/0 gesetzt werden. Die gefunden Eigenvektoren EV1, EV2, EV3 setze ich dann zur Transformationsmatrix T für die Jordanmatrix D zusammen:
19: T:=Transpose(Join(EV1,EV2,EV3)) ===> > 20: D:=T^(-1) A*T >

Diagonalisierbarkeit

Eine n×n-Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes von A mit seiner algebraischen Vielfachheit übereinstimmt. Eine n×n-Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare n×n-Matrix T gibt, so dass T−1A T =D eine Diagonalmatrix ist. Eine n×n-Matrix A heißt orthogonal, wenn A AT=ATA=En ist, d.h. wenn A−1=AT. Sei A eine orthogonale Matrix. Dann bilden die Spaltenvektoren von A eine Orthonormalbasis des Rn. Die Zeilenvektoren von A bilden ebenfalls eine Orthonormalbasis des Rn. MatheMaterialien (moodle.ruhr-uni-bochum.de) Für reelle Matrizen gilt:
  • Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar D:=T^t A T
  • Jede symmetrische Matrix ist orthogonal diagonalisierbar
  • Jede symmetrische Matrix hat einen Eigenwert
  • Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.
  • Eine symmetrische n×n-Matrix mit λ≠μ zwei verschiedenen Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren v⃗  und w⃗ . Dann sind v⃗  und w⃗  orthogonal zueinander, das heißt, ihr Skalarprodukt ist v⃗ ⋅w⃗ =0 
Eine quadratische Matrix A heißt
  • positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind,
  • positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind,
  • negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind,
  • negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind,
  • indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.
Beispiele EW 1.1.1/1-2.1.1/1+2.1.1 A:= {{1, 2, 0}, {2, 1, 2}, {0, 2, 1}} EW 2.1.1/3.2.1 A:={{3, 1, 1}, {-2, 2, 0}, {2, 1, 3}} EW0.2.1/1.1.2 A:= {{0, 1,-1}, {1, 0, 1}, {1, -1, 2}}