Derivaatan määritelmä
Keskinopeus saadaan pitkällä aikavälillä eikä se näin ollen kerro oikeastaan mitään todellisesta nopeudesta. Ylinopeussakot saatuaan kuskin nopeus on ylittänyt jossain vaiheessa sallitun nopeuden mutta on toisaalta voinut ollut reippaasti alle sen jossakin toisessa vaiheessa.
Poliisia ei niinkään kiinnosta keskinopeus pitkällä aikavälillä vaan hetkellinen nopeus eli nopeus hyvin lyhyellä aikavälillä. Tällainen hetkellinen nopeus määritetään matemaattisesti raja-arvojen avulla seuraavan määritelmän mukaisesti:
Olkoon reaalifunktio f määritelty avoimella välillä ]a, b[. Jos on olemassa raja-arvo
niin f on derivoituva pisteessä x.
Kyseistä raja-arvoa kutsutaan siis funktion derivaataksi pisteessä x. Derivaattaa voidaan merkitä useilla eri tavoilla, joista yleisimmin käytettyjä ovat
.
Kaksi ensimmäistä merkintätapaa ilmoittavat suoraan, että derivointi tapahtuu muuttujan x suhteen. Viimeisin merkintätapa on yleisimmin käytetty kaavakokoelmissa.
Ensimmäisen esimerkin avulla päättelimme, että matkan derivaatta on nopeus:
,
sillä raja-arvon yksikkö on m/s.
Samalla tavalla tutkittaessa nopeuden hetkellistä muutosnopeutta ajan suhteen, päädytään kiihtyvyyteen. Vastaavia esimerkkejä on fysiikassa useita.
Joissakin tapauksissa funktio f voi olla derivoituva useammin kuin kerran. Esimerkiksi matkan toinen derivaatta on kiihtyvyys:
.
Symbolilla tarkoitetaan, että funktio f on derivoitu n kertaa. Käytettäessä derivaatalle merkintää korkeampia derivaattoja merkitään
.
Alla on muutamia laskuesimerkkejä derivaatan määrittämiseksi määritelmän avulla. Koska raja-arvot käsiteltiin vain käsitteen muodossa, ovat esimerkit lähinnä lisätietona.
Esimerkki 1. Määritä funktio f(x)=x derivaatta määritelmän avulla.
Ratkaisu 1.
Esimerkki 2. Määritä funktion derivaatta määritelmän avulla.
Ratkaisu 2. Itseisarvot on poistettava ennen raja-arvon laskemista:
Funktio on nyt paloittain määritelty, jossa molemmat palat ovat polynomilausekkeita. Tällöinhän funktio on molemmissa paloissaan jatkuva. Ainut ongelmallinen kohta on x = 0, jossa määrittely muuttuu. Tällöin myös muutosnopeus voi olla erilainen pisteen x = 0 molemmin puolin.
.
Tässä tapauksessa funktiolla sanotaan olevan vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat pisteessä x = 0.
Yleisesti voidaan sanoa, että jos funktio on derivoituva pisteessä x, niin se on myös jatkuva kyseisessä pisteessä (määritelmän perusteella). Jatkuvuus ei kuitenkaan takaa derivaatan olemassaoloa.
Harjoitustehtäviä kiinnostuneille:
1. Määritä .
2. Määritä .