Umkehrung des Satzes des Pythagoras
Beim Bau eines Hauses sollen die Grundmauern senkrecht aufeinandertreffen. Auf dem Foto siehst du, wie zwei Auszubildende ein Dreieck abstecken.
Sie markieren mit 3m, 4m und 5m langen Seilen ein Dreieck. Für das Dreieck gilt:
Man behauptet: Das abgesteckte Dreieck ist rechtwinklig. Stimmt das?
Führe folgende Schritte zur Konstruktion aus
a) Konstruiere ein beliebiges Dreieck an 3 Punkten.
b) Konstruiere an jede Dreiecksseite ein Quadrat.
c) Lasse den Flächeninhalt jedes Quadrats berechnen.
d) Lasse die Summe der Flächeninhalte der kleinen Flächen berechnen.
Aufgabe 1
Verschiebe den Punkt C derart, dass die Summe der Flächeninhalte der kleinen Quadrate genauso groß ist wie der Flächeninhalt des großen Quadrats.
Welche Spur ergibt sich? Welche Dreiecksart liegt somit vor? Hinweis: Satz des Thales
Aufgabe 2
Formuliere eine Gleichung mithilfe der Flächeninhalte der Quadrate, sodass gilt: .
Umkehrung des Satzes des Pythagoras
Für jedes Dreieck ABC gilt: Wenn , dann ist .
Aufgabe 3
Überprüfe mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras ob das Dreieck in der Einführungsaufgabe tatsächlich rechtwinklig ist.
Beweis
Verschiebe den Punkt C längs der Höhe hc nach unten. Es entsteht ein stumpfwinkliges Dreieck .
Die Seiten a und b werden kürzer, also
Verschiebe nun den Punkt C längs der Verlängerung der Höhe nach oben. Es entsteht ein spitzwinkliges Dreieck .
Die Seiten a und b werden länger, also
Aus beiden Überlegungen folgt: Wenn Winkel ist, dann gilt . Nur im Falle gilt somit .
Also: Wenn ist, dann ist
Aufgabe 4
Entscheide, ob das Dreieck ABC rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist. a=8cm, b=6cm, c=10cm
Aufgabe 5
Entscheide, ob das Dreieck ABC rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist. a=7cm, b=9cm, c=11cm