Geschwindigkeit und Benzinverbrauch
- Autor:
- Günter Schraik
Geschwindigkeit und Benzinverbrauch
Geschwindigkeit und Benzinverbrauch
In der obigen Tabelle wurden die Messdaten für die Geschwindigkeit in km/h und den Benzinverbrauch in Litern/100 km für einen Diesel-PKW zusammengefasst.
a) Bestimmen Sie die Regressionsgerade für den Benzinverbrauch in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit.
b) Bestimmen Sie die Regressionsgerade für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Benzinverbrauch.
c) Zeichnen Sie die gemessenen Punkte, die beiden Geraden in der Grafik ein wobei auf der horizontalen Achse (Abszisse) die Geschwindigkeit und auf der vertikalen Achse der Benzinverbrauch dargestellt wird.
d) Bestimmen Sie auch den pearsonschen Korrelationskoeffizienten.
Theorie lineare Regression 1. Y ist abhängig von X und 2. X ist abhängig von Y
Man untersucht 2 Merkmale X, Y und bestimmt die Merkmalswerte und . Durch die "Punktwolke" der Wertepaare (,) legt man eine Gerade bzw. eine lineare Funktion, die möglichst nahe an den "gemessenen Punkten" vorbei geht.
1. Man kann die Y-Werte als Funktionswerte abhängig von den X-Werten betrachten - dann lautet die Form der linearen Regressionsgeraden:
Man minimiert die Summe der Differenzquadrate aus den gemessenen Werten und den theoretischen Werten :
Einsetzen:
Für ein Minimum ist die notwendige Bedingung, dass die ersten Ableitungen nach den Variablen und Null sind:
Vereinfachung (herausheben, zusammenfassen - Assoziativgesetz der Addition) ergibt dann das Gleichungssystem zur Berechnung von und :
und
mit n gleich der Anzahl der Wertepaare .
2. Man kann die X-Werte als Funktionswerte abhängig von den Y-Werten betrachten - dann lautet die Form der linearen Regressionsgeraden:
Man minimiert die Summe der Differenzquadrate aus den gemessenen Werten und den theoretischen Werten : . Die gleiche Rechnung wie oben führt dann zu dem Gleichungssystem:
und
zur Berechnung von und . Die Gleichung muss man noch nach y auflösen, damit man die 2. Regressionsgerade in das gleiche Koordinatensystem einzeichnen kann!
Pearsonscher Korrelationskoeffizient: gibt Auskunft über die "Stärke" des Zusammenhanges der beiden Merkmale X und Y. Der Betrag von R liegt zwischen 0 und 1: je näher bei 1, umso stärker ist der Zusammenhang.
Geometrisch sieht man die Stärke des Zusammenhanges am Winkel zwischen den beiden Regressionsgeraden. Ist dieser Winkel klein, dann ist der Zusammenhang stark.