Demostración del teorema de Pitágoras
- Autor:
- Emilio
Sea cual sea el triángulo rectángulo que hayamos dibujado siempre podemos dibujar un cuadrado de lado la suma de los catetos, es decir, siempre podemos dibujar un cuadrado de lado b+c.
Al hacer el dibujo como indicamos en la figura de arriba vemos que siempre obtenemos en el centro un cuadrado de lado a y cuatro triángulo iguales al triángulo inicial.
Por tanto podemos calcular el área del cuadrado grande dos maneras distintas:
El área del cuadrado es lado por lado luego el área es $latex (b+c)(b+c)=b^2 + bc+ cb+ c^2=b^2+2bc+c^2 $
Por otro lado podemos calcular el área del cuadrado grande como la suma del área del cuadrado pequeño más las cuadro áreas de los triángulos
El área del cuadrado pequeño es $latex a^2 $
El área del triángulo es $latex \frac{bc}{2} $
Por tanto el área del cuadrado grande es $latex a^2+ 4\frac{bc}{2} = a^2 +2 bc $
El área del cuadrado grande da el mismo resultado independientemente de como se halla calculado. Luego a^2 +2 bc=b^2+2bc+c^2. Como las expresiones de ambos miembros de la igualdad dan el mismo resultado si resto la misma cantidad en ambos miembros la igualdad se mantiene. Luego si resto 2bc en ambos miembros obtengo:
$latex a^2 +2 bc – 2bc =b^2+2bc+c^2-2bc $
Es decir, $latex a^2 = b^2+c^2 $ como quería demostrar.