Konfokale Cartesische Ovale

Autor:
Walter Füchte

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Cartesische Ovale (benannt nach René Descartes) sind bizirkulare Quartiken mit der Gleichung:
  • mit .
Die Kurve ist der Ort der Punkte , deren Abstand von 2 "Brennpunkten" und mit einer linearen Beziehung genügen. Für spezielle Parameterwerte ergeben sich Möbiustransformierte von Kegelschnitten. Im Allgemeinen handelt es sich um bizirkulare Quartiken mit 4 verschiedenen Brennpunkten, von denen einer ist. Im obigen Applet sind die Brennpunkte und es ergeben sich folgende Kurven-Gleichungen:
  • mit und , legt den Brennpunkt und einen Kurvenscheitel fest.
Für erhält man in der Grenze Kegelschnitte mit den Brennpunkten und . Für oder erhält man Kurven, die durch eine Kreisinversion aus Kegelschnitten entstehen, z.B. Bernoulli-Lemniskaten, Lemniskaten von BOOTH. Zu vorgegebenen 4 verschiedenen konzyklischen Brennpunkten gibt es 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise, einer davon ist imaginär. Durch jeden Punkte der Ebene, von den Brennpunkten abgesehen, gehen 2 zueinander orthogonale Kurven der Schar. Diese Kurven sind Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichung
  • , für die eine Weierstrasssche mit reellen Invarianten Lösung ist.
Zur Konstruktion dieser Kurven durch einen vor gegegebenen Punkt P ... dienen folgende Eigenschaften dieser Quartiken: zu jeder Symmetrie gibt es die Kurve dopplt-berührende Kreise. Spiegelt man einen der Brennpunkte an diesen doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Bildpunkte auf einem Kreis: dem durch die Symmetrie und den gewählten Brennpunkt bestimmten Leitkreis. Der zur -Achsensymmetrie gehörende Leitkreis ist die -Achse selber, diese ist zur Konstruktion ungeeignet. Wählt man als Brennpunkt , so sind die 3 anderen Leitkreise konzentrisch, und die Mittelpunkte der doppelt-berührenden Kreise liegen auf dem jeweils zugehörigen Leitkreis. Zu jeder Symmetrie gehören "Brennkreise", das sind die Kreise durch die symmetrisch liegenden Brennpunkte einerseits und den Kurvenpunkt andererseits. Die doppelt-berührenden Kreise sind Winkelhalbierende der Brennkreise. Da einer der Brennpunkte ist, ist ein Brennkreis eine Gerade. In der Schar der konfokalen kartesischen Ovale liegen 2 Quartiken, die durch eine Möbiustransformation aus einer Cassini-Quartik entstehen. Dies ist der Fall, wenn der Leitkreis-Mittelpunkt auf auf einen der Schnittpunkte der Symmetriekreise fällt. Im obigen Applet kann man den Brennpunkt Fc und den Kurvenpunkt P bewegen. Die doppelt-berührenden Kreise lassen sich durch ihre Mittelpunkte auf den Leitkreisen bewegen. Die Berechnung der Schar aus impliziten Quartiken ist sehr aufwendig, ändert man die gewünschte Anzahl oder den Brennpunkt Fc , so muss man durch Reset eine Neuberechnung initiieren. Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge

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