Align_5
- Author:
- Marsal F
Démontrer que H , I et O sont alignés que si le rayon du cercle circonscrit (Rc) = le rayon du cercle exinscrit (Re)
Lorsque les points H , I et O sont alignés , O est en Oi . Dans ce cas OiP = OP = Rc (rayon de cercle circonscrit) . La démonstration va consister à établir l'égalité OiP = GF = JF = Re (rayon de cercle exinscrit) .
Dans une première phase on va démontrer que FP est parallèle à HG . Les points C , I , D et J sont en division harmonique (propriété de l'angle ABC et de ses bissectrices) . Le faisceau reliant H à ces points est aussi harmonique . La droite JG parallèle à la branche HC du réseau coupe les 3 autres branches en 2 parts égales . Donc FG = FJ = Re et F est le milieu de GJ . Comme P est le milieu de IJ , FP et parallèle à IG .
Lorsque O est en Oi , le quadrilatère GFPOi étant un parallélogramme , on a bien OiP = OP = GF et Rc = Re .