Propositie 15
Overstaande hoeken zijn gelijk.
Inleiding
In propositie 15 bewijst Euclides wat we nu kennen als de eigenschap van overstaande hoeken. Dit is één van de eerste bewijzen die leerlingen vandaag op school leren. Leerlingen ontdekken dat er een verschil is tussen iets aannemen en iets bewijzen: Je ziet dat overstaande hoeken gelijk zijn, maar waarom zijn ze altijd gelijk? Het onderscheid tussen iets zien en aannemen of iets zeker weten is waar wiskunde echt over gaat.
De eigenschap zelf wordt in de meetkunde dikwijls gebruikt en is elegant en eenvoudig. Het bewijs wordt 2300 jaar na zijn ontstaan nog steeds op dezelfde manier uitgelegd. Het enige verschil is dat we nu spreken over hoeken die gelijk zijn aan 180° en niet meer "gelijk aan 2 rechte hoeken".
Opvallend aan deze propositie is dat Euclides de propositie eindigt met een "porisme". Dit is een extra resultaat dat rechtstreeks uit het bewijs volgt, zonder extra werk.
Benieuwd wat er uit deze stelling automatisch volgt? Lees dan het einde van de originele tekst.
Oude versie
Als twee rechte lijnen elkaar snijden, zijn de overstaande hoeken gelijk aan elkaar.
de rechte lijnen AB en CD snijden elkaar in punt E. Ik zeg dat de hoek AEC gelijk is aan de hoek DEB, en de hoek CEB gelijk aan de hoek AED.
Omdat de rechte lijn AE staat op de rechte lijn CD en de hoeken CEA en AED vormt, zijn de hoeken CEA en AED samen gelijk aan twee rechte hoeken. (prop 13)
Omdat de rechte lijn DE staat op de rechte lijn AB en de hoeken AED en DEB vormt, zijn de hoeken AED en DEB samen gelijk aan twee rechte hoeken. (prop 13)
Maar de hoeken CEA en AED werden ook bewezen samen gelijk te zijn aan twee rechte hoeken. Dus zijn de hoeken CEA en AED gelijk aan de hoeken AED en DEB. (post 4 en ai 1)
Trek de hoek AED af van elk. Dus is de resterende hoek CEA gelijk aan de resterende hoek BED. (ai 3)
Op dezelfde manier kan bewezen worden dat ook de hoeken CEB en DEA gelijk zijn.
Porisme: Hieruit blijkt dat als twee rechte lijnen elkaar snijden, de vier hoeken in het snijpunt samen gelijk zijn aan vier rechte hoeken