Propositie 20
De som van twee zijden van een driehoek is altijd groter dan de derde zijde.
Inleiding
In propositie 20 bewijst Euclides de driehoeksongelijkheid: de som van twee zijden van een driehoek is altijd groter dan de derde zijde. Dit klinkt heel logisch: De kortste weg tussen twee punten is immers een rechte lijn. Maar ook hier geldt: Iets zien is niet hetzelfde als iets bewijzen.
Na de stelling van Pythagoras en de hoekensom van een driehoek is dit een van de bekendste resultaten uit Boek I.
Oude versie
In elke driehoek zijn twee zijden samen groter dan de derde zijde.
ABC is een driehoek. Ik zeg dat in de driehoek ABC twee zijden samen altijd groter zijn dan de derde, namelijk BA en AC groter dan BC, AB en BC groter dan AC, en BC en CA groter dan AB.
Verleng BA tot punt D en maak DA gelijk aan CA. (prop 3)
Trek DC. (post 1)
Omdat DA gelijk is aan AC, is de hoek ADC ook gelijk aan de hoek ACD. (prop 5)
Dus is de hoek BCD groter dan de hoek ADC. (ai 5)
Omdat in de driehoek DCB de hoek BCD groter is dan de hoek BDC, en de grootste hoek tegenover de langste zijde ligt, is DB groter dan BC. (prop 19)
Maar DA is gelijk aan AC. Dus zijn BA en AC samen groter dan BC.
Op dezelfde manier kan bewezen worden dat AB en BC samen groter zijn dan CA, en BC en CA samen groter dan AB.