Google ClassroomGoogle Classroom
GeoGebraGeoGebra Razred
GeoGebra

Parte 3

Autor:Maykon Luccas Nascimento Andrade
INTRODUÇÃO 1. Nesta construção, oberve o controle deslizante " x̅ " que representa um ponto x̅ pertencente ao intervalo [a,b]. E além disso, está representado também o retângulo em cor azul, cuja altura é dada por f( x̅ ) e cuja base coincide com o comprimento do intervalo [a,b].

[Ii - CP] a) Ajuste os controles deslizantes para a = 0, b = 8 e x̅ = 4 . Determine a área do retângulo ABCD.

[Ii - CP] b) Agora ajuste os controles deslizantes para a = 1, b = 5 e x̅ = 3. Determine a área do retângulo ABCD.

[Ii - CP] c) De modo geral, considerando um intervalo qualquer [a, b] e x̅ [a,b], qual a expressão que representa a área do retângulo ?

[Ie] d) Posicione o controle deslizante em a = 0 e b =8 e observe o valor da integral.
[Ie] e) Posicione o controle deslizante em a = 1 e b = 5 e observe o valor da integral.

[Ir] f) Com base nos resultados dos itens (a) e (b), o que você observa em relação ao valor da integral nos respectivos intervalos?

[If] FORMALIZANDO O PENSAMENTO

Teorema do Valor Médio para Integrais Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b]. Então existe pelo menos um número x̅ em [a,b] tal que

Em outras palavras, existe um ponto  x̅  no intervalo [a,b] de modo que o valor da integral nesse intervalo é igual a área do retângulo cuja altura é f(x̅) e a base o comprimento do intervalo.

Dessa forma, podemos interpretar f(x̅) como o valor médio da função no intervalo [a,b]. Em consequência dessa proposição, esse valor médio pode ser calculado da seguinte forma:
2. Observe a construção a seguir e perceba que o intervalo mudou para [x, x + Δx].

[Ie] a) Com base na construção acima qual seria a expressão que define a área do retângulo ABCD ?

[Ie] b) Da mesma forma, qual expressão que define, em termos de integral, a área do trapézio ABFE?

Uključite sve točne odgovore
  • A
  • B
  • C
  • D
Provjeri moje odgovore (3)

[Ir] c) Considerando que na construção o valor de f(x̅) é o valor médio da função neste intervalo [x, x + Δx], qual a relação que podemos concluir entre as expressões dos itens (a) e (b)?

[If] FORMALIZANDO O PENSAMENTO Na construção realizada, o ponto x̅ foi escolhido dentro do intervalo [x, x + Δx] de modo que a área do retângulo construído seja exatamente igual à área sob o gráfico da função nesse mesmo intervalo. Assim, temos que:
3. A construção mostra o intervalo [x, x+Δx], a região correspondente à integral nesse pequeno trecho e o ponto x̅, cuja altura f(x̅) define o retângulo ABCD associado.

[Ie] a) Movimente o controle deslizante lentamente Δx de modo que ele fique bem próximo de zero, para qual valor x̅ parece tender dentro do intervalo [x, x+Δx]?

[Ir] b) Utilizando a construção dada podemos afirmar que ? Justifique.

[If] FORMALIZANDO O PENSAMENTO Em cada posição do controle deslizante , o ponto x̅ permanece contido no intervalo [x, x + Δx]. Isso garante as desigualdades e, equivalentemente, Quando o intervalo é reduzido e Δx se aproxima de zero, a distância entre x̅e x também se aproxima de zero. Assim,

Novi radovi

Istraži uratke

Otkrij teme